Seja n = 999...999, um número que possui 2.008 algarismos. Quantos "9" há na representação decimal de [tex3]n^{3}[/tex3]
?
a) 6.021.
b) 6.020.
c) 4.015.
d) 4.014.
e) nenhum.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Ensino Fundamental ⇒ Raciocínio Lógico
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Raciocínio Lógico
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22:25
Re: Raciocínio Lógico
Vamos tentar achar um padrão.
[tex3]9^{1}[/tex3] = 9 (1 Número 9)
[tex3]99^{1}[/tex3] = 99 (2 Números 9)
[tex3]999^{1}[/tex3] = 999 (3 Números 9)
[tex3]9999^{1}[/tex3] = 9999 (4 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 1.
[tex3]9^{2}[/tex3] = 81 (0 Número 9)
[tex3]99^{2}[/tex3] = 9801 (1 Número 9)
[tex3]999^{2}[/tex3] = 998001 (2 Números 9)
[tex3]9999^{2}[/tex3] = 99980001 (3 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 0.
[tex3]9^{3}[/tex3] = 729 (1 Número 9)
[tex3]99^{3}[/tex3] = 970299 (3 Números 9)
[tex3]999^{3}[/tex3] = 997002999 (5 Números 9)
[tex3]9999^{3}[/tex3] = 999700029999 (7 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 2 em 2, a partir do 1, também podemos chegar numa equação: 2 [tex3]\cdot[/tex3] (número de algarismos 9 que vão ser elevados a 3) - 1 = número de algarismos 9, então:
2 [tex3]\cdot[/tex3] 2008 - 1 = 4.015
[tex3]9^{1}[/tex3] = 9 (1 Número 9)
[tex3]99^{1}[/tex3] = 99 (2 Números 9)
[tex3]999^{1}[/tex3] = 999 (3 Números 9)
[tex3]9999^{1}[/tex3] = 9999 (4 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 1.
[tex3]9^{2}[/tex3] = 81 (0 Número 9)
[tex3]99^{2}[/tex3] = 9801 (1 Número 9)
[tex3]999^{2}[/tex3] = 998001 (2 Números 9)
[tex3]9999^{2}[/tex3] = 99980001 (3 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 0.
[tex3]9^{3}[/tex3] = 729 (1 Número 9)
[tex3]99^{3}[/tex3] = 970299 (3 Números 9)
[tex3]999^{3}[/tex3] = 997002999 (5 Números 9)
[tex3]9999^{3}[/tex3] = 999700029999 (7 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 2 em 2, a partir do 1, também podemos chegar numa equação: 2 [tex3]\cdot[/tex3] (número de algarismos 9 que vão ser elevados a 3) - 1 = número de algarismos 9, então:
2 [tex3]\cdot[/tex3] 2008 - 1 = 4.015
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 02 Mar 2017, 22:25, em um total de 1 vez.
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rodBR
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02
23:21
Re: Raciocínio Lógico
Pensei análogo a vc Guibernardo.
9 [tex3]\rightarrow 9^{3}=729[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 1[/tex3]
99 [tex3]\rightarrow 99^{3}=970299[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 3[/tex3]
999 [tex3]\rightarrow 999^{3}=997002999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 5[/tex3]
9999 [tex3]\rightarrow 9999^{3}=999700029999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 7[/tex3]
99999 [tex3]\rightarrow 99999^{3}=999970000299999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 9[/tex3]
Considerando que esse padrão continua. Temos que o sucessor de [tex3]10^{n}-1[/tex3] tem dois algarismos 9 a mais.
A quantidade de "9" segue o seguinte padrão:
[tex3](1,3,5,7,9...)[/tex3] , onde [tex3]a_{1}=1[/tex3] , [tex3]r=2[/tex3] .
Logo, trata-se de uma P.A e queremos saber quantos "9" tem quando temos o número
[tex3]\underbrace{99\ldots9}_{\text{2008 algs "9"}}\,[/tex3] elevado ao cubo:
[tex3]a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+(2008-1)\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+2007\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+4014[/tex3]
[tex3]a_{2008}=4015[/tex3]
A linha de raciocínio acima parece ser verdadeira, mas como não provei que vai seguir esse padrão, o "mais correto" seria o seguinte raciocínio:
Para criar número com algarismo "9" faz-se [tex3]10^{n}-1[/tex3] . Logo queremos saber quantos algarismos "9" tem o número:
[tex3](10^{2008}-1)^{3}=10^{6024}-3\cdot 10^{4016}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 10^{2008}-1^{3}[/tex3]
Não desenvolvi esse produto notável, mas se a partir disso concluirmos que o número [tex3](10^{2008}-1)^{3}[/tex3] tem 4014 "9", logo o raciocínio está correto, porém ainda faltará justificá-lo.
Espero ter contribuído de alguma forma. Abraços...
Att>> rodBR.
9 [tex3]\rightarrow 9^{3}=729[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 1[/tex3]
99 [tex3]\rightarrow 99^{3}=970299[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 3[/tex3]
999 [tex3]\rightarrow 999^{3}=997002999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 5[/tex3]
9999 [tex3]\rightarrow 9999^{3}=999700029999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 7[/tex3]
99999 [tex3]\rightarrow 99999^{3}=999970000299999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 9[/tex3]
Considerando que esse padrão continua. Temos que o sucessor de [tex3]10^{n}-1[/tex3] tem dois algarismos 9 a mais.
A quantidade de "9" segue o seguinte padrão:
[tex3](1,3,5,7,9...)[/tex3] , onde [tex3]a_{1}=1[/tex3] , [tex3]r=2[/tex3] .
Logo, trata-se de uma P.A e queremos saber quantos "9" tem quando temos o número
[tex3]\underbrace{99\ldots9}_{\text{2008 algs "9"}}\,[/tex3] elevado ao cubo:
[tex3]a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+(2008-1)\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+2007\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+4014[/tex3]
[tex3]a_{2008}=4015[/tex3]
A linha de raciocínio acima parece ser verdadeira, mas como não provei que vai seguir esse padrão, o "mais correto" seria o seguinte raciocínio:
Para criar número com algarismo "9" faz-se [tex3]10^{n}-1[/tex3] . Logo queremos saber quantos algarismos "9" tem o número:
[tex3](10^{2008}-1)^{3}=10^{6024}-3\cdot 10^{4016}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 10^{2008}-1^{3}[/tex3]
Não desenvolvi esse produto notável, mas se a partir disso concluirmos que o número [tex3](10^{2008}-1)^{3}[/tex3] tem 4014 "9", logo o raciocínio está correto, porém ainda faltará justificá-lo.
Espero ter contribuído de alguma forma. Abraços...
Att>> rodBR.
Editado pela última vez por rodBR em 02 Mar 2017, 23:21, em um total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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