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Se x e y são números reais tais que x + y + xy = 10 e x² + y² = 40. Determine o valor de x + y.

Mensagem não lidapor **Ivo213** » Qua 09 Nov, 2016 20:35 · Mensagem não lida por **Ivo213** » Qua 09 Nov, 2016 20:35

FISMAQUIM escreveu:Se x e y são números reais tais que x + y + xy = 10 e x² + y² = 40. Determine o valor de x + y.

Boa noite,

$x + y = 10 - xy$
$x^2+ y^2 = 40$

$(x + y)^2 = (10 - xy)^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 100 - 20xy + x^2y^2$
$40 + 2xy = 100 - 20xy + x^2y^2$

$100 - 40 = 2xy + 20xy - x^2y^2$

$60 = 22xy - x^2y^2$

$x^2y^2 - 22xy + 60 = 0$

Como $x^2 \cdot y^2=(x \cdot y)^2$ , façamos $x \cdot y=z$ :
$z^2 - 22z + 60 = 0$

Resolvendo por Bhaskara, vem:
$z = 11 \pm \sqrt{61}$

Logo, fica:
$xy = 11 \pm \sqrt{61}$
$x+y=10-\left(11\pm \sqrt{61}\right)$
$x + y = -1 \mp \sqrt{61}$

Um abraço.

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