Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **geobson** » Qui 08 Ago, 2019 12:27

Os cossenos dos ângulos de um triângulo estão na razão 2 : 9 : 12 .A razão entre os lados desse triângulo é igual a ?

Resposta

a resposta é: 9: 8 : 7

Mensagem não lidapor **rodBR** » Qui 08 Ago, 2019 14:57 · Mensagem não lida por **rodBR** » Qui 08 Ago, 2019 14:57

: tri.png (5.86 KiB) Exibido 519 vezes

[tex3]\cos (A)=2k\\
\cos(B)=9k\\
\cos(C)=12k[/tex3]

[tex3]\sen^2(A)+4k^2=1\\
\sen(A)=\sqrt{1-4k^2}[/tex3]
Analogamente, teremos:
[tex3]\sen(B)=\sqrt{1-9k^2} \ ; \ \sen(C)=\sqrt{1-12k^2}[/tex3] .

Lei dos cossenos:
[tex3]\begin{cases}
a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot 2k\ \ (i)\\
b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot 9k\ \ (ii)\\
c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot 12k\ \ (iii)\end{cases}[/tex3]
Fazendo [tex3](i)-(ii)[/tex3]
[tex3]2a^2=2b^2-2\cdot b\cdot c\cdot 2k+2\cdot a\cdot c\cdot 9k\\
a^2=b^2-b\cdot c\cdot 2k+a\cdot c\cdot 9k\\
a^2=b^2+kc\cdot(9a-2b)[/tex3]
Fazendo [tex3](i)+(ii)[/tex3] :
[tex3]2c^2=2\cdot b\cdot c\cdot 2k+2\cdot a\cdot c\cdot 9k\\
2c^2=2ck\cdot(2b+9a)\\
\boxed{c=k\cdot(2b+9a)} \ \ \ (I)[/tex3]
Fazendo [tex3](ii)+(iii)[/tex3] :
[tex3]2a^2=2\cdot a\cdot c\cdot 9k+2\cdot a\cdot b\cdot 12k\\
2a^2=2ak\cdot(9c+12b)\\
\boxed{a=k\cdot(9c+12b)} \ \ (II)[/tex3]
Fazendo [tex3](i)+(iii)[/tex3] :
[tex3]2b^2=2\cdot b\cdot c\cdot 2k+2\cdot a\cdot b\cdot 12k\\
2b^2=2bk\cdot(2c+12a)\\
\boxed{b=k\cdot(2c+12a)} \ \ (III)[/tex3]

De [tex3](I):(II)[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{c}=\frac{9c+12b}{2b+9a} [/tex3]
De [tex3](I):(III)[/tex3] :
[tex3]\frac{c}{b}=\frac{2b+9a}{2c+12a}[/tex3]
De [tex3](II):(III)[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{b}=\frac{9c+12b}{2c+12a}[/tex3]

Então, temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{2b+9a}{9c+12b} \ \ (1)\\
\frac{c}{b}=\frac{2b+9a}{2c+12a}\ \ (2)\\
\frac{a}{b}=\frac{9c+12b}{2c+12a} \ \ (3)\end{cases}[/tex3]

Depois tento continuar, ou se surgir outra ideia melhor que essa cheia de conta posto aqui...

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