Ensino Fundamental

Mensagem não lida por **Killin** » 01 Jul 2016, 15:18

Resolva o sistema de equações,

$\sqrt{x}-\sqrt{y}= x + \sqrt{xy}$
$(x+y)^2= 2.(x-y)^2$

para x>y.

18 Jul 2016, 08:34

Creio que a solução seja a seguinte:
$\left(x+y\right)^2=2 \cdot \left(x-y\right)^2$
$\left(\frac{x+y}{x-y}\right)^2=2 \,\,\,\,\,\,\,\, (I)$

Por outro lado:
$\sqrt x-\sqrt y=x+\sqrt{xy}$
$\sqrt x-x=\sqrt y+ \sqrt{xy}$
$\left(\sqrt x-x\right)^2=\left(\sqrt y+ \sqrt{xy}\right)^2$
$x-2x\sqrt x+x^2=y+2y\sqrt x+xy$
$x^2+x-y-xy=2y\sqrt x+2x \sqrt x$
$x\cdot (x-y)+x-y=2 \sqrt x \cdot (x+y)$
$(x-y) \cdot (x+1)=2 \sqrt x \cdot (x+y)$
$\frac{x+y}{x-y}=\frac{x+1}{2 \sqrt x} \,\,\,\,\,\,\,\,\, (II)$

Substituindo II em I:
$\left(\frac{x+1}{2 \sqrt x}\right)^2=2$
$(x+1)^2=2 \cdot 4 \cdot x$
$x^2+2x+1=8x$
$x^2-6x+1=0$
$\Delta = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=32$
$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{32}}{2}=\frac{6\pm 4\sqrt2}{2}=3\pm 2\sqrt 2$
$x'=3+2\sqrt2=\left(1+\sqrt 2\right)^2$
$x''=3-2\sqrt2=\left(1-\sqrt 2\right)^2$

Para $x=\left(1+\sqrt2 \right)^2$ , substituindo em $\sqrt{x}-\sqrt{y}= x + \sqrt{xy}$ :
$\sqrt{\left(1+\sqrt2 \right)^2}-\sqrt y=\left(1+\sqrt2 \right)^2+\sqrt{\left(1+\sqrt2 \right)^2 \cdot y}$
$+1+\sqrt 2-\sqrt y=1-2\sqrt2+2+\sqrt y \cdot \left(+1+\sqrt2\right)$
$-2-\sqrt2=\sqrt y \left(2+\sqrt2\right)$
$\sqrt y=-\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}=-1$ não existe valor de y que satisfaça esse resultado no campo dos números reais.

Para $x=\left(1-\sqrt2 \right)^2$ , substituindo em $\sqrt{x}-\sqrt{y}= x + \sqrt{xy}$ :
$\sqrt{\left(1-\sqrt2 \right)^2}-\sqrt y=\left(1-\sqrt2 \right)^2+\sqrt{\left(1-\sqrt2 \right)^2 \cdot y}$
$-1+\sqrt 2-\sqrt y=1-2\sqrt2+2+\sqrt y \cdot \left(-1+\sqrt2\right)$
$+3\sqrt2-4=\sqrt y \left(\sqrt2\right)$
$\sqrt y=\frac{-4+3\sqrt2}{\sqrt2}=3-2\sqrt 2$
$\sqrt y=\left(1-\sqrt2\right)^2$
$y=17-12 \sqrt 2$

$V=\left\{3-2\sqrt2; 17-12 \sqrt2 \right\}$

Espero ter ajudado!

Mensagem não lida por **Killin** » 18 Jul 2016, 17:08

Que visão, parabéns! O gabarito bateu exatamente igual. Porém não entendi da onde surgiu esse 17-12√2 e também não entendi o porque de quando substituiu o [tex3](1-\sqrt{y})^2[/tex3] no lugar do √x em: √x - √y = x + √xy, ele ter saído -1+√2. Obrigado.

19 Jul 2016, 12:50

Veja:
$\sqrt y= \left(1-\sqrt 2\right)^2$ , logo:
$y=\left(1-\sqrt 2\right)^4=17-12 \sqrt2$

Com relação à segunda pergunta, apena simplifiquei o índice do radical com o expoente do radicando.

Mensagem não lida por **Killin** » 19 Jul 2016, 14:07

Ah ta, obrigado.

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