Ensino Fundamental ⇒ Relaçoes Metricas no triangulo retangulo

[dragon230]

Em um triangulo de perimetro 60 cm , a altura relativa á hipotenusa vale 12 cm determine os demais elementos.

[ttbr96]

relações que podemos extrair deste triângulo retângulo:

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[tex3]\frac{c}{12} = \frac{b}{m} \Rightarrow cm = 12b \,\,\,(I) \\\\
\frac{c}{12} = \frac{a}{b} \Rightarrow bc = 12a \,\,\,(II) \\\\
\frac{b}{m} = \frac{a}{b} \Rightarrow b^2 = am \,\,\,(III) \\\\
\frac{a}{c} = \frac{c}{n} \Rightarrow c^2 = an \,\,\,(IV) \\\\
\frac{12}{n} = \frac{m}{12} \Rightarrow m \cdot n = 144 (V) \\\\
a^2 = b^2 + c^2 \,\,\,(VI)[/tex3]

então:

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[tex3]a + b + c = 60 \\\\
b + c = 60 - a \\\\
(b + c)^2 = (60 - a)^2 \\\\
b^2 + c^2 + 2bc = 3600 - 120a + a^2 \\\\
a^2 + 2(12a) = 3600 - 120a + a^2 \\\\
24a = 3600 - 120a \\\\
144a = 3600 \\\\
a = 25[/tex3]

substituindo 'a' em III:

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[tex3]b^2 = 25m[/tex3]

substiruindo 'a' em IV:

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[tex3]c^2 = 25n[/tex3]

substituindo estes dois em VI:

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[tex3]25^2 = 25m + 25n \rightarrow 625 = 25(m + n) \Righarrow m + n = 25 \Rightarrow m = 25 - n[/tex3]

substituindo este em V:

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[tex3](25 - n)n = 24n - n^2 = 144 \Rightarrow n^2 - 25n - 144 = 0[/tex3]

logo: n = 16 ou 9

consequentemente: m = 9 ou 16

com isso: b = 20 ou 15 e c = 15 ou 20

portanto:
triângulos com dimensões: a = 25, b = 20 e c = 15, os valor de m e n sào: 9 e 16 respectivamente.

triângulos com dimensões: a = 24, b = 15 e c = 20, os valores de m e n são: 16 e 9 respectivamente.