Duas peças de fazenda de qualidades,larguras e comprimentos diferentes, valem juntas 3.120,00.
As duas peças medem 320 metros. As qualidades são inversamente proporcionais a 1/6 e 1/5;as larguras são diretamente proporcionais a 5 e 4 e os comprimentos diretamente proporcionais a 7 e 9.
Calcule os preços de um metro de cada peça.
Ensino Fundamental ⇒ Divisão Proporcional
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VALDECIRTOZZI 
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Abr 2016
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08:29
Re: Divisão Proporcional
Creio que a solução seja a seguinte:
Temos que:
[tex3]c_1[/tex3] é o comprimento, em metros da primeira peça.
[tex3]\ell_1[/tex3] é a largura, em metros, da primeira peça.
[tex3]v_1[/tex3] é o preço, em reais de 1 m² da primeira peça, o que no problema corresponde à qualidade.
[tex3]c_2[/tex3] é o comprimento, em metros da segunda peça.
[tex3]\ell_2[/tex3] é a largura, em metros, da segunda peça.
[tex3]v_2[/tex3] é o preço, em reais de 1 m² da segunda peça, o que no problema corresponde à qualidade.
Pela informações do problema podemos escrever:
[tex3]\begin{cases}
c_1+c_2=320 \\
\frac{c_1}{7}=\frac{c_2}{9}
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema de equações acima, temos que:
[tex3]c_1=140 \ m[/tex3]
[tex3]c_2=180 \ m[/tex3]
Pela informações sobre das proporções temos que:
[tex3]\frac{c_1}{7}=\frac{c_2}{9}\Longleftrightarrow c_2=\frac{9c_1}{7}\,\,\,\,\, (I)[/tex3]
[tex3]\frac{\ell_1}{5}=\frac{\ell_2}{4}\Longleftrightarrow \ell_2=\frac{4\ell_1}{5}\,\,\,\,\, (II)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}\cdot v_1=\frac{1}{5}\cdot v_2 \Longleftrightarrow v_2=\frac{5v_1}{6}\,\,\,\,\, (III)[/tex3]
O valor de cada peça é o produto de sua área (em m²) pelo preço do metros quadrado, então:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
Substituindo I, II e III na equação acima:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+\frac{9c_1}{7}\cdot\frac{4\ell_1}{5}\cdot \frac{5v_1}{6}=3.120[/tex3]
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1 \cdot \left(1+\frac{9}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}\right)=3.120[/tex3]
[tex3]\frac{13}{7}\cdot c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1=3.120[/tex3]
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1=1.680[/tex3]
Como [tex3]c_1=140 \ m[/tex3] :
[tex3]\ell_1 \cdot v_1=\frac{1.680}{140}=12,00[/tex3]
Ou seja, o valor de 1 m² do tecido 1 é R$12,00, já que a largura é fixa e o preço do metro quadrado também.
De forma análoga para o tecido II:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2+\frac{7c_2}{9}\cdot\frac{5\ell_2}{4}\cdot \frac{6v_1}{5}=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2 \cdot \left(1+\frac{7}{9}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5}\right)=3.120[/tex3]
[tex3]\frac{13}{6}\cdot c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=1.440[/tex3]
Como [tex3]c_2=180 \ m[/tex3] :
[tex3]\ell_1 \cdot v_1=\frac{1.440}{180}=8,00[/tex3]
Espero ter ajudado!
Temos que:
[tex3]c_1[/tex3] é o comprimento, em metros da primeira peça.
[tex3]\ell_1[/tex3] é a largura, em metros, da primeira peça.
[tex3]v_1[/tex3] é o preço, em reais de 1 m² da primeira peça, o que no problema corresponde à qualidade.
[tex3]c_2[/tex3] é o comprimento, em metros da segunda peça.
[tex3]\ell_2[/tex3] é a largura, em metros, da segunda peça.
[tex3]v_2[/tex3] é o preço, em reais de 1 m² da segunda peça, o que no problema corresponde à qualidade.
Pela informações do problema podemos escrever:
[tex3]\begin{cases}
c_1+c_2=320 \\
\frac{c_1}{7}=\frac{c_2}{9}
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema de equações acima, temos que:
[tex3]c_1=140 \ m[/tex3]
[tex3]c_2=180 \ m[/tex3]
Pela informações sobre das proporções temos que:
[tex3]\frac{c_1}{7}=\frac{c_2}{9}\Longleftrightarrow c_2=\frac{9c_1}{7}\,\,\,\,\, (I)[/tex3]
[tex3]\frac{\ell_1}{5}=\frac{\ell_2}{4}\Longleftrightarrow \ell_2=\frac{4\ell_1}{5}\,\,\,\,\, (II)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}\cdot v_1=\frac{1}{5}\cdot v_2 \Longleftrightarrow v_2=\frac{5v_1}{6}\,\,\,\,\, (III)[/tex3]
O valor de cada peça é o produto de sua área (em m²) pelo preço do metros quadrado, então:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
Substituindo I, II e III na equação acima:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+\frac{9c_1}{7}\cdot\frac{4\ell_1}{5}\cdot \frac{5v_1}{6}=3.120[/tex3]
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1 \cdot \left(1+\frac{9}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}\right)=3.120[/tex3]
[tex3]\frac{13}{7}\cdot c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1=3.120[/tex3]
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1=1.680[/tex3]
Como [tex3]c_1=140 \ m[/tex3] :
[tex3]\ell_1 \cdot v_1=\frac{1.680}{140}=12,00[/tex3]
Ou seja, o valor de 1 m² do tecido 1 é R$12,00, já que a largura é fixa e o preço do metro quadrado também.
De forma análoga para o tecido II:
[tex3]c_1 \cdot \ell_1 \cdot v_1+c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2+\frac{7c_2}{9}\cdot\frac{5\ell_2}{4}\cdot \frac{6v_1}{5}=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2 \cdot \left(1+\frac{7}{9}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5}\right)=3.120[/tex3]
[tex3]\frac{13}{6}\cdot c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=3.120[/tex3]
[tex3]c_2 \cdot \ell_2 \cdot v_2=1.440[/tex3]
Como [tex3]c_2=180 \ m[/tex3] :
[tex3]\ell_1 \cdot v_1=\frac{1.440}{180}=8,00[/tex3]
Espero ter ajudado!
Última edição: caju (Sex 18 Ago, 2017 11:59). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3
Razão: TeX --> Tex3
So many problems, so little time!
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