b) A altura de um triângulo equilátero é dada pela fórmula [tex3]h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}[/tex3]
, sendo [tex3]a[/tex3]
o lado do triângulo.
Com isso:
[tex3]6= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \implies a\sqrt{3} = 12 \implies a= \dfrac{12}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \implies a = 4\sqrt{3}[/tex3]
.
a) Conhecendo a medida do lado, podemos calcular a medida do raio do círculo inscrito:
- triangulo equilátero.png (30.16 KiB) Exibido 430 vezes
No triângulo acima, [tex3]AD[/tex3]
é a altura. Perceba que é possível dividir o triângulo equilátero em três triângulos que contém um ângulo de 120°.
Esses triângulos são isósceles, já que [tex3]AO=BO=CO=[/tex3]
raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero. Logo, [tex3]D\hat{B}O=30°[/tex3]
[tex3]OD = r[/tex3]
e [tex3]BD = 2\sqrt{3}[/tex3]
. Pela relação trigonométrica seno, temos:
[tex3]sen \,\,30º = \dfrac{OD}{OB} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{r}{OB} \implies OB = 2r[/tex3]
.
Agora pelo teorema de Pitágoras:
[tex3]4r^2 = r^2+12 \implies 3r^2= 12 \implies r^2 = 4 \implies \boxed{r = 2}[/tex3]
.
c) O apótema é igual ao raio do círculo inscrito, logo [tex3]a = r \implies \boxed{a = 2}[/tex3]
d) O raio do círculo circunscrito é [tex3]2r = 2\cdot 2 = \boxed{4} [/tex3]