Ensino FundamentalPolígonos regulares Tópico resolvido

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Vscarv
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Fev 2015 16 09:56

Polígonos regulares

Mensagem não lida por Vscarv »

Dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcule:

a) o raio do círculo inscrito;

b) o lado;

c) o apótema;

d) o raio do círculo circunscrito.

Resposta

a) 2 cm; b) 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm; c) 2 cm; d) 4 cm

Última edição: Vscarv (Seg 16 Fev, 2015 09:56). Total de 1 vez.



goncalves3718
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Re: Polígonos regulares

Mensagem não lida por goncalves3718 »

b) A altura de um triângulo equilátero é dada pela fórmula [tex3]h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}[/tex3] , sendo [tex3]a[/tex3] o lado do triângulo.
Com isso:

[tex3]6= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \implies a\sqrt{3} = 12 \implies a= \dfrac{12}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \implies a = 4\sqrt{3}[/tex3] .

a) Conhecendo a medida do lado, podemos calcular a medida do raio do círculo inscrito:
triangulo equilátero.png
triangulo equilátero.png (30.16 KiB) Exibido 411 vezes
No triângulo acima, [tex3]AD[/tex3] é a altura. Perceba que é possível dividir o triângulo equilátero em três triângulos que contém um ângulo de 120°.
Esses triângulos são isósceles, já que [tex3]AO=BO=CO=[/tex3] raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero. Logo, [tex3]D\hat{B}O=30°[/tex3]

[tex3]OD = r[/tex3] e [tex3]BD = 2\sqrt{3}[/tex3] . Pela relação trigonométrica seno, temos:

[tex3]sen \,\,30º = \dfrac{OD}{OB} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{r}{OB} \implies OB = 2r[/tex3] .
Agora pelo teorema de Pitágoras:

[tex3]4r^2 = r^2+12 \implies 3r^2= 12 \implies r^2 = 4 \implies \boxed{r = 2}[/tex3] .

c) O apótema é igual ao raio do círculo inscrito, logo [tex3]a = r \implies \boxed{a = 2}[/tex3]

d) O raio do círculo circunscrito é [tex3]2r = 2\cdot 2 = \boxed{4} [/tex3]




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