Ensino Fundamental ⇒ Teorema de Menelaus e Ceva

[Jiraya001]

Prove que as bissetrizes internas de dois ângulos de um triângulo não isósceles e a bissetriz externa do terceiro ângulo cortam os lados opostos em 3 pontos colineares.

Por favor, poderiam esolver este problema com a utilização do teorema de Minelaus ou Ceva.

[petras]

Jiraya001,

Aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo 𝐴𝐵𝐶:
[tex3]\angle B = \frac{AB}{AP} = \frac{BC}{CP}\implies \frac{AN+NB}{AP}=\frac{BC}{CP} = \implies \frac{CP}{AP}=\frac{BC}{AN+NB}\\
\angle C = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{BN}\implies \frac{AP+PC}{AN}=\frac{BC}{BN} = \implies \frac{AN}{NB}=\frac{AP+PC}{BC}\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle B = \frac{AB}{AP} = \frac{BC}{CP}\implies \frac{AN+NB}{AP}=\frac{BC}{CP} = \implies \frac{CP}{AP}=\frac{BC}{AN+NB}\\
\angle C = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{BN}\implies \frac{AP+PC}{AN}=\frac{BC}{BN} = \implies \frac{AN}{NB}=\frac{AP+PC}{BC}\\
[/tex3]

Para provar que 𝑀, 𝑁, 𝑃 são colineares, podemos usar o teorema de Menelaus. Assim, devemos provar que:

𝑀𝐵/𝑀𝐶 ∙ 𝐶𝑃/𝑃𝐴 ∙ 𝐴𝑁/𝑁𝐵 = 1

Vamos calcular o valor da expressão da esquerda:

𝑀𝐵/𝑀𝐶 ∙ 𝐶𝑃/𝑃𝐴 ∙ 𝐴𝑁/𝑁𝐵

Substituindo cada razão pelos valores encontrados usando o teorema das bissetrizes interna e externa, encontramos:
[tex3]
\frac{MB}{MC}.\frac{CP}{PA}.\frac{AN}{NB}=\frac{AN+NB}{AP+PC}.\frac{BC}{AN+NB}.\frac{AP+PC}{BC}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\frac{MB}{MC}.\frac{CP}{PA}.\frac{AN}{NB}=\frac{AN+NB}{AP+PC}.\frac{BC}{AN+NB}.\frac{AP+PC}{BC}=1[/tex3]

Portanto, os pontos 𝑀, 𝑁, 𝑃 satisfazem ao teorema de Menelaus, logo, são colineares.
(Solução:VictorSo)