Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[botelho]

Em um triângulo ABC traça as medianas BE, AF e CG de medidas 3m, 3[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

m e 6m. Calcule a m < GMB se M é baricentro da região triangular.
a)60°
b)40°
c)30°
d)90°
e)45°

Resposta

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[joaovitor]

A ideia aqui foi utilizar o Teorema de Apolônio, que acabou sendo muito útil nesse caso. Não vi outro caminho mais fácil. Segue abaixo o teorema:

Teorema de Apolônio .jpg (40.15 KiB) Exibido 77 vezes

Sabendo disso, vamos pra resolução do nosso problema.

1) Observe que o baricentro M divide as medianas numa razão 2 para 1. Aplicando essa propriedade nas medianas, teremos os valores denotados na imagem abaixo. Os segmentos ME, MC e MF não foram necessários para a resolução da questão. Mas deixei os valores ali pra mostrar que a soma deles com os outros "pedaços" dá o valor das medianas dadas pelo enunciado.

2) Chamei de θ o ângulo solicitado pelo enunciado.

3) Apliquei o teorema no triângulo AMB.

4) Conclusões: o triângulo GMB é equilátero com lado 2. E, portanto, o gabarito da questão é letra a, 60°.

[geobson]

botelho, teorema das medianas!