Ensino Fundamental ⇒ Expressão numérica Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Qual é o menor inteiro n para o qual (2² - 1) · (3² - 1) · (4² - 1) · ... · (n² - 1) é um quadrado perfeito?

Resposta

---

8

[LostWalker]

Por dizermos que:

[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

Podemos tb afirmar que:

[tex3]a^2-1=a^2-1^2=(a+1)(a-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2-1=a^2-1^2=(a+1)(a-1)[/tex3]

Aplicando essa abertura nos números, temos:

[tex3](2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdots[/tex3]

[tex3](3\cdot1)\cdot(4\cdot2)\cdot(5\cdot3)\cdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](3\cdot1)\cdot(4\cdot2)\cdot(5\cdot3)\cdots[/tex3]

Agora, vamos listar, para um exemplo, até o quinto elemento. Em verde os elementos que repetem e em vermelho os que não repetem

[tex3]({\color{PineGreen}3}\cdot{\color{Red}1})\cdot({\color{PineGreen}4}\cdot{\color{Red}2})\cdot({\color{PineGreen}5}\cdot{\color{PineGreen}3})\cdot({\color{Red}6}\cdot{\color{PineGreen}}{\color{PineGreen}4})\cdot({\color{Red}7}\cdot{\color{PineGreen}5})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]({\color{PineGreen}3}\cdot{\color{Red}1})\cdot({\color{PineGreen}4}\cdot{\color{Red}2})\cdot({\color{PineGreen}5}\cdot{\color{PineGreen}3})\cdot({\color{Red}6}\cdot{\color{PineGreen}}{\color{PineGreen}4})\cdot({\color{Red}7}\cdot{\color{PineGreen}5})[/tex3]

Perceba que os elementos acabam por repetir, entretanto, os dois menos do primeiro e os dois maiores do final não se repetem, assim, podemos dizer que, quando a multiplicação deles for um quadrado perfeito, então temos um quadrado perfeito. Podemos dizer:

[tex3]1\cdot2\cdot n\cdot(n+1)=k^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\cdot2\cdot n\cdot(n+1)=k^2[/tex3]

Aqui existem algumas formas de pensar como a necessidade de um dos termos já ser um quadrado perfeito ou que n ou n+1 já é um quadrado perfeito dividido por 2. De todo modo, acaba sendo tentativa e erro. Novamente, recomendo procurar se baseando nos quadrados perfeitos, você finalmente chegará que:

[tex3]1\cdot2\cdot 8\cdot(8+1)=k^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\cdot2\cdot 8\cdot(8+1)=k^2[/tex3]

[tex3]4^2\cdot3^2=k^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^2\cdot3^2=k^2[/tex3]

Resposta: 8

[petras]

FISMAQUIM,

Outra maneira
[tex3]
(2^2−1)⋯(n^2−1)=\frac{(n−1)!(n+1)!}{2}=\frac{(n!)^2(n+1)}{2n}:(n \geq2)\\
\therefore \frac{n+1}{2n}~\text{precisa ser um quadrado perfeito}\\
Menor~inteiro = 8 \implies \frac{8+1}{2⋅8}=\frac{9}{16} =(\frac{3}{4})^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
(2^2−1)⋯(n^2−1)=\frac{(n−1)!(n+1)!}{2}=\frac{(n!)^2(n+1)}{2n}:(n \geq2)\\
\therefore \frac{n+1}{2n}~\text{precisa ser um quadrado perfeito}\\
Menor~inteiro = 8 \implies \frac{8+1}{2⋅8}=\frac{9}{16} =(\frac{3}{4})^2[/tex3]

(Solução:Pie)

[FISMAQUIM]

LostWalker, petras, muito obrigado