Ensino Fundamental ⇒ Pentágono Regular Tópico resolvido

[botelho]

Em um pentágono regular ABCDE, traça-se as diagonais BE e AD, que se interceptam em P, tal que (CP)^2 - (PE)^2=12. Calcule AB.
a)12
b)2[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

c)3[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

d)2[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e)6

Resposta

---

d

[botelho]

............up........

[botelho]

,.............up...................

[petras]

botelho,
Distribuindo os ângulos:
[tex3]\triangle EDP_{(isosc)}\\
\triangle PDC_{(isosc)}\\
\therefore ED \cong DP\cong DC\\
CP^2 =l^2+l^2-2l.l.cos72^o (II) \\

PE^2 = l^2+l^2-2l.lcos36^o (I)\\
(II)-(I) :12 = -2l^2cos72^o +2l^2cos36^o \\
6 = l^2(cos36^o -72^o )\\
cos72^o = \frac{\sqrt5-1}{4}
\\cos36^o =\frac{\sqrt5+1}{4}\\
6 = l^2.\frac{1}{2} \implies l^2 = 12 \therefore \boxed{l =2\sqrt3}


[/tex3]

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[tex3]\triangle EDP_{(isosc)}\\
\triangle PDC_{(isosc)}\\
\therefore ED \cong DP\cong DC\\
CP^2 =l^2+l^2-2l.l.cos72^o (II) \\

PE^2 = l^2+l^2-2l.lcos36^o (I)\\
(II)-(I) :12 = -2l^2cos72^o +2l^2cos36^o \\
6 = l^2(cos36^o -72^o )\\
cos72^o = \frac{\sqrt5-1}{4}
\\cos36^o =\frac{\sqrt5+1}{4}\\
6 = l^2.\frac{1}{2} \implies l^2 = 12 \therefore \boxed{l =2\sqrt3}


[/tex3]