Ensino Fundamental

No retângulo ABCD, O1 e O2 são circuncentros dos triângulos ABK e CDK. Se 3(O1O2)=2(BC).
Calcule x.

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a)53graus
b)37graus
c)60graus
d)45graus
e)75graus

Resposta

c

zcoli · Mensagem não lida por **zcoli** » Sex 01 Jul, 2022 23:58

Se o ponto [tex3]O1[/tex3] é circuncentro do triângulo [tex3]ABK[/tex3] , então existe uma circunferência de centro [tex3]O1[/tex3] que circunscreve esse triângulo.
Isso significa que [tex3]AO1=BO1=KO1[/tex3] , pois esses 3 segmentos são raios dessa circunferência.
Os triângulos [tex3]ABK[/tex3] e [tex3]CDK[/tex3] são congruentes, pois têm um lado em comum [tex3](AB=CD)[/tex3] e os ângulos internos são iguais.
Então ambos os triângulos são circunscritos por uma circunferência de mesmo raio, que vou chamar de [tex3]R[/tex3] .

Sabemos que [tex3]O1O2=KO1+KO2=R+R=2R[/tex3] . Então:
[tex3]3*O1O2=2*BC[/tex3]
[tex3]3*2R=2BC[/tex3]
[tex3]BC=3R[/tex3]

[tex3]EF=3R[/tex3]
[tex3]EO1+KO1+KO2+FO2=3R[/tex3]
[tex3]EO1+2R+EO2=3R[/tex3]

Conforme foi mencionado, os 2 triângulos são congruentes. Então [tex3]EO1=EO2[/tex3]

[tex3]2EO1=R[/tex3]
[tex3]EO1=\frac{R}{2}[/tex3]

[tex3]EO1[/tex3] é uma mediatriz, então ela faz [tex3]90°[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] .
No triângulo [tex3]BEO1[/tex3] , temos o seguinte:

[tex3]sen(90°-x)=\frac{EO1}{BO1}[/tex3]
[tex3]sen(90°)*cos(x)-cos(90°)*sen(x)=\frac{R/2}{R}[/tex3]
[tex3]1*cos(x)-0*sen(x)=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]cos(x)=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]x=60°[/tex3]

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