Ensino Fundamental ⇒ Produtos Notáveis Tópico resolvido

[botelho]

Se a+b+c+d=0, calcule [tex3]\frac{abc+abd+acd+bcd}{a³+b³+c³+d³}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{abc+abd+acd+bcd}{a³+b³+c³+d³}[/tex3]

.
a)1
b)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

c)2
d)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

e)[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

Resposta

---

d

[deOliveira]

[tex3]a+b+c+d=0\implies\begin{cases}-a=b+c+d\\-b=a+c+d\\-c=a+b+d\\-d=a+b+c\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+d=0\implies\begin{cases}-a=b+c+d\\-b=a+c+d\\-c=a+b+d\\-d=a+b+c\end{cases}[/tex3]

[tex3]a+b+c+d=0\\(a+b+c+d)^3=0\\(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2b+a^2c+a^2d+ab^2+b^2c+b^2d+ac^2+bc^2+c^2d+ad^2+bd^2+cd^2]=0\\a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2(b+c+d)+b^2(a+c+d)+c^2(a+b+d)+d^2(a+b+c)]=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2(-a)+b^2(-b)+c^2(-c)+d^2(-d)]=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)-3[a^3+b^3+c^3+d^3]=0\\-2(a^3+b^3+c^3+d^3)+6(abc+abd+acd+bcd)=0\\
3(abc+abd+acd+bcd)=a^3+b^3+c^3+d^3\\\frac{abc+abd+acd+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}=\frac13[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+d=0\\(a+b+c+d)^3=0\\(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2b+a^2c+a^2d+ab^2+b^2c+b^2d+ac^2+bc^2+c^2d+ad^2+bd^2+cd^2]=0\\a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2(b+c+d)+b^2(a+c+d)+c^2(a+b+d)+d^2(a+b+c)]=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)+3[a^2(-a)+b^2(-b)+c^2(-c)+d^2(-d)]=0\\
a^3+b^3+c^3+d^3+6(abc+abd+acd+bcd)-3[a^3+b^3+c^3+d^3]=0\\-2(a^3+b^3+c^3+d^3)+6(abc+abd+acd+bcd)=0\\
3(abc+abd+acd+bcd)=a^3+b^3+c^3+d^3\\\frac{abc+abd+acd+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}=\frac13[/tex3]

Espero ter ajudado

[cpusam]

Tai uma coisa que nunca vi fazer foi esse truque de criar um sistema nesse estilo ai, com membro negativo.
Obrigado ai pelo cálculo.

[deOliveira]

cpusam, na quarta linha eu percebi que daria pra fazer esse lance de e que daí o problema já estava resolvido.