Ensino Fundamental ⇒ Produtos Notáveis Tópico resolvido

[botelho]

Calcule o valor de x³-3x+6, se x=[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}[/tex3]

.
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6

Resposta

---

a

[MateusQqMD]

Olá, botelho.

Note que podemos passar as parcelas do lado direita da igualdade para o lado esquerdo, de sorte que a igualdade do enunciado é equivalente a

[tex3]\begin{align}x = \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} + \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} \\ x - \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} - \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} = 0 .\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}x = \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} + \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} \\ x - \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} - \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} = 0 .\end{align}[/tex3]

Mas sabemos que se [tex3]a + b + c = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + b + c = 0[/tex3]

implica [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc,[/tex3]

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[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc,[/tex3]

e daí

[tex3]x^3 - \( \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3}\)^3 - \(\sqrt[3]{ 2 - \sqrt3}\)^3 = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 - \left( 2 +\sqrt{3} \right) - \left( 2 - \sqrt{3} \right) = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 -3x = +4.[/tex3]

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[tex3]x^3 - \( \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3}\)^3 - \(\sqrt[3]{ 2 - \sqrt3}\)^3 = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 - \left( 2 +\sqrt{3} \right) - \left( 2 - \sqrt{3} \right) = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 -3x = +4.[/tex3]

Somando [tex3]6[/tex3]

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[tex3]6[/tex3]

em ambos os lados da igualdade, temos

[tex3]x^3 -3x +6 = 10. [/tex3]

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[tex3]x^3 -3x +6 = 10. [/tex3]