Demonstrações ⇒ Demonstração --- Variação do Peso aparente de um corpo submerso

[Jvrextrue13]

Imaginemos uma situação inicial , onde um corpo de coeficiente de dilatação volumétrica [tex3]\gamma\text{}[/tex3]

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[tex3]\gamma\text{}[/tex3]

está submerso em um líquido de densidade d_o e coeficiente de dilatação volumétrica [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

, a uma temperatura inicial T_o. O seu peso aparente P_ap é dado por :

[tex3]P_{ap}=P-E_o[/tex3]
Sendo P o peso aplicado sobre ele, e E_o o empuxo inicial antes da variação de temperatura.

Para saber o peso aparente após a variação de temperatura, vamos calcular o novo empuxo exercido pelo corpo submerso.

[tex3]E_o=d_o.V_o.g[/tex3]

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[tex3]E_o=d_o.V_o.g[/tex3]

Ao variar a temperatura , a densidade do líquido muda, assim como o volume do objeto submerso.

[tex3]E_f=d_f.V_f.g[/tex3]

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[tex3]E_f=d_f.V_f.g[/tex3]

O volume do corpo se dilata:

[tex3]V_f=V_o(1+\gamma\Delta T)\\[/tex3]

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[tex3]V_f=V_o(1+\gamma\Delta T)\\[/tex3]

A densidade do líquido muda:
[tex3]d_f=\frac{d_o}{(1+\beta\Delta T)}[/tex3]

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[tex3]d_f=\frac{d_o}{(1+\beta\Delta T)}[/tex3]

Logo, o empuxo final é dado por:

[tex3]E_f=\left(\frac{d_o}{(1+\beta\Delta T}\right).[Vo(1+\gamma\Delta T)].g\\E_f=d_o.V_o.g.(1+\beta\Delta T)^{-1}.(1+\gamma\Delta T)\\E_f=E_o(1+\beta\Delta T)^{-1}.(1+\gamma\Delta T)\\\text{Utilizando a seguinte aproximação para x muito menor que 1, que é o caso dos coeficientes de dilatação térmica:}\\(1+x)^{n}\approx1+nx\\E_f\approx E_o.(1-\beta\Delta T).(1+\gamma\Delta T)\\E_f\approx E_o[1+\gamma\Delta T-\beta\Delta T-\gamma\beta\Delta T^{2}]\\\text{Desprezando o termo}( \gamma\beta\Delta T^{2}), \text{pois seu valor é muito pequeno}\\E_f\approx E_o[1+\Delta T(\gamma-\beta)]\\E_f\approx E_o[1-\Delta T(\beta-\gamma)][/tex3]

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[tex3]E_f=\left(\frac{d_o}{(1+\beta\Delta T}\right).[Vo(1+\gamma\Delta T)].g\\E_f=d_o.V_o.g.(1+\beta\Delta T)^{-1}.(1+\gamma\Delta T)\\E_f=E_o(1+\beta\Delta T)^{-1}.(1+\gamma\Delta T)\\\text{Utilizando a seguinte aproximação para x muito menor que 1, que é o caso dos coeficientes de dilatação térmica:}\\(1+x)^{n}\approx1+nx\\E_f\approx E_o.(1-\beta\Delta T).(1+\gamma\Delta T)\\E_f\approx E_o[1+\gamma\Delta T-\beta\Delta T-\gamma\beta\Delta T^{2}]\\\text{Desprezando o termo}( \gamma\beta\Delta T^{2}), \text{pois seu valor é muito pequeno}\\E_f\approx E_o[1+\Delta T(\gamma-\beta)]\\E_f\approx E_o[1-\Delta T(\beta-\gamma)][/tex3]

E finalmente obtemos o peso aparente final , que será dado por:
[tex3]P_{apf}=P-E_f\\P_{apf}=P-E_o[1-\Delta T(\beta-\gamma)~][/tex3]

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[tex3]P_{apf}=P-E_f\\P_{apf}=P-E_o[1-\Delta T(\beta-\gamma)~][/tex3]

Agora , vamos fazer uma pequena conclusão:
(1):No caso prático, na grande maioria das situações e questões, os coeficientes de líquidos são maiores que os dos sólidos, logo:
[tex3]\beta>\gamma[/tex3]

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[tex3]\beta>\gamma[/tex3]

Logo, ao aquecer,ou seja, uma variação positiva na temperatura, o Empuxo diminuirá, logo o peso aparente do corpo aumentará.
Lembrando que para fazer essa demonstração , consideramos o corpo totalmente submerso antes e depois da variação de temperatura.