DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Lamy

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Planck
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Demonstração - Teorema de Lamy

Mensagem não lida por Planck »

Na Estática, o Teorema de Lamy é uma equação que relaciona a intensidade de três forças, coplanares, concorrentes e não colineares, que fazem com que um corpo permaneça em equilíbrio, com os ângulos diretamente opostos às forças correspondentes.

Bernard Lamy foi um matemático e teólogo francês e membro da Congregação do Oratório. Veja mais sobre ele aqui.



Hipótese

Demonstre que 3 forças concorrentes que mantém um ponto [tex3]\text P[/tex3] em equilíbrio podem ser relacionadas por:

[tex3]{\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\frac{\vec{v}}{\sen \alpha} = \frac{\vec u}{\sen \beta } = \frac{\vec w}{\sen \gamma}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]



Demonstração

Podemos montar o seguinte sistemas de forças atuantes sobre um ponto [tex3]\text P[/tex3] :

9EE81C97-F14C-4D9E-BE01-4D3C9648235E.png
9EE81C97-F14C-4D9E-BE01-4D3C9648235E.png (18.84 KiB) Exibido 1986 vezes

Ademais, podemos rearranjar os vetores e obter um triângulo de forças ou Triângulo de Simon Stevin (o mesmo da hidrostática). Desse modo, obtemos que:

9C3EF47A-0DF1-4E3E-981B-4A38280875F3.png
9C3EF47A-0DF1-4E3E-981B-4A38280875F3.png (20.41 KiB) Exibido 1986 vezes

Diante disso, podemos aplicar a Lei dos Senos:

[tex3]\frac{\vec v }{\sen \( 180 \degree - \alpha\)} = \frac{\vec u}{\sen\( 180 \degree - \beta \)}=\frac{\vec w}{\sen \( 180\degree -\gamma\)}[/tex3]

No entanto, da trigonometria, sabemos que [tex3]\sen \(180 \degree - x \) = \sen \( x\).[/tex3] Então, ficamos com:

[tex3]{\color{black} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\frac{\vec{v}}{\sen \alpha} = \frac{\vec u}{\sen \beta } = \frac{\vec w}{\sen \gamma}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

Portanto, fica demonstrado que, se três forças atuam em um ponto e mantém esse ponto em equilíbrio, então as relações que obtemos são válidas. Alguns exercícios resolvidos com esse teorema:

viewtopic.php?f=15&t=80235
viewtopic.php?f=15&t=80181
viewtopic.php?f=41&t=65007
viewtopic.php?f=9&t=80591


[1]. A relação é válida para um corpo sob ação exclusiva de três forças concorrentes que o mantém em equilíbrio.




Movido de Física I para Demonstrações em Seg 13 Abr, 2020 21:03 por MateusQqMD

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