[tex3]W = \int \vec F \cdot \vec d [/tex3]
Como temos um produto vetorial, podemos defini-lo como:
[tex3]\vec u \cdot \vec v =|\vec u| \cdot |\vec v | \cdot \cos \theta[/tex3]
Portanto:
[tex3]W = \int |\vec F| \cdot |\vec d | \cdot \cos \theta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;(1)[/tex3]
Para um gás, temos a seguinte situação:
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[tex3]\Delta V=A \cdot |\vec d| \Leftrightarrow A \cdot d[/tex3]
Portanto:
[tex3]d= \frac{\Delta V}{A} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)[/tex3]
Fazendo [tex3](2)[/tex3] em [tex3](1)[/tex3] :
[tex3]W = \int |\vec F| \cdot \frac{ \Delta V}{A} \cdot \cos \theta [/tex3]
Como o ângulo entre o deslocamento e a força é zero, ficamos com:
[tex3]W = \int |\vec F| \cdot \frac{ \Delta V}{A} \cdot \cancelto1{\cos 0º} [/tex3]
No entanto, a força exerce uma pressão sobre a área [tex3]A[/tex3] , que pode ser calculada por:
[tex3]p= \frac{|\vec F|}{A}[/tex3]
Podemos isolar a força:
[tex3]p \cdot A = |\vec F|[/tex3]
Com essa relação, determinar uma expressão independente da força:
[tex3]W = \int p \cdot \cancel A \cdot \frac{\Delta V}{\cancel A} [/tex3]
[tex3]W = \int p \cdot \Delta V [/tex3]
Considerando variações infinitesimais do volume:
[tex3]W = \int_{V_i}^{V_f} p \cdot d V [/tex3]
Ou, como é mais comum em nível médio:
[tex3]\boxed{W_{Gás}= p \cdot \Delta V} \; \; C.Q.D.[/tex3]
As unidades são:
[tex3]W_{Gás} [J] = p \left [ \frac{N}{m^2}\right] \cdot \Delta V[ m^3][/tex3]
É frequente encontrarmos as seguintes unidades:
[tex3]p [atm] \cdot \Delta V[ l][/tex3]
Nesse caso:
[tex3]1 [atm \cdot l] =100[J][/tex3]
Além disso, podemos interpretar que o gás pode sofrer expansão ou compressão. Do ponto de vista energético, durante a expansão o gás transfere energia para o meio externo. Por outro lado, durante a compressão o gás recebe energia do meio externo.
