Demonstração - E=mc^2 (Mecânica Quântica)
Enviado: Sex 07 Dez, 2018 01:51
Eae, pessoal, blz?? Trago aqui uma interessante demonstração da famigerada equação de Einstein, através da mecânica quântica. Sei que há outras demonstrações (mais 3) propostas pelo próprio Einstein em diferentes datas, mas achei essa incrível... como tudo se encaixa, cara!!
Antes, vale a pena relembrar que o momento relativístico é dado por [tex3]p=\gamma\cdot m v[/tex3] , em que [tex3]\gamma[/tex3] é o fator de Lorentz, dado por: [tex3]\gamma=\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}[/tex3] ; além disso, vale a pena salientar que a força é dada por: [tex3]F=\frac{dp}{dt}[/tex3] .
Vamos recorrer, agora, ao teorema da energia cinética, o qual afirma que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética. Suponha que uma força irá realizar trabalho sobre um corpo de massa [tex3]m[/tex3] de uma distância de 0 m até x m , sendo que na posição 0 m a velocidade é nula e que na posição x m a velocidade é [tex3]v[/tex3] . Assim:
[tex3]W=\int\limits_{0}^{x}Fdx=\Delta K \rightarrow \int\limits_{0}^{x}\frac{dp}{dt}dx=K-0 \rightarrow \boxed{\int\limits_{0}^{p}vdp=K}\hspace{10pt} \color{red}{\text{(i)}} [/tex3] , em que K é a energia cinética e [tex3]\frac{dx}{dt}=v[/tex3] .
Para prosseguir, vamos derivar a equação do momento relativístico em relação à velocidade:
[tex3]\frac{dp}{dv} =\frac{d[\gamma\cdot m v]}{dv} \rightarrow\frac{dp}{dv} =m\cdot \(\frac{d[\gamma]}{dv}\cdot v+\frac{d[v]}{dv}\cdot\gamma\) \rightarrow\\
\frac{dp}{dv} =m\cdot\[-\frac{1}{2}\cdot\(1- \(\frac{v}{c}\)^{2}\)^{-1.5}\cdot \frac{(-2v)}{c^{2}}\cdot v+1\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\] [/tex3]
Colocando em evidência o fator de Lorentz:
[tex3]\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \(\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-1}+1\) \rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \[\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)+1\]=m\cdot\gamma\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)\rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1} \therefore \\
\boxed{dp =m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv}\hspace{10pt}\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3]
Substituindo [tex3]dp[/tex3] da equação [tex3]\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3] na equação [tex3]\color{red}{\text{(i)}}[/tex3] , temos:
[tex3]\int\limits_{0}^{p}vdp=K\rightarrow \int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K[/tex3]
Fazendo-se [tex3]u= 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}[/tex3] , e derivando [tex3]u[/tex3] em relação à velocidade [tex3]v[/tex3] , tem-se que:
[tex3]\frac{d[u]}{dv}=\frac{d}{dv}\[1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\]= -2\cdot\frac{v}{c^{2}} \rightarrow du=-2\cdot\frac{v}{c^{2}}\cdot dv[/tex3] ou melhor: [tex3]dv=-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du[/tex3] .
Dessa forma:
[tex3]\int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K\rightarrow K=\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}v\cdot m \cdot(u)^{-1.5}\(-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du\) \rightarrow K=\frac{-mc^{2}}{2}\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} (u)^{-1.5}\cdot du[/tex3] .
Resolvendo essa integral básica:
[tex3]K=\frac{-mc^{2}}{2}\cdot \[-2\cdot u^{-0.5}\]_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\rightarrow K= m\cdot c^{2}\cdot \[\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-0.5}-1\]\rightarrow K=mc^{2}\cdot(\gamma-1)[/tex3]
Eis a equação com a qual se pode determinar a energia cinética relativística. Prosseguindo e reorganizando os termos:
[tex3]K=mc^{2}\cdot(\gamma-1) \rightarrow K=mc^{2}\cdot \gamma-mc^{2}[/tex3]
Segundo consta em livros como Halliday (não sei informar se essa parte de energia total foi afirmada por Einstein, se alguém souber comenta aquiiii
), a energia total de um dado objeto, supondo que a energia potencial seja nula, é dada por [tex3]\varepsilon=\gamma mc^{2}[/tex3]
. Então:
[tex3]K +mc^{2}=\gamma mc^{2} \therefore \varepsilon=K+mc^{2}[/tex3] , em que [tex3]mc^{2}[/tex3] representa a energia de repouso (lembra que láaa no início o intervalo da primeira integral era entre 0 e x??).
Finalmente: [tex3]E_{\text{repouso}}=mc^{2},c.q.d.[/tex3]
Espero que curtam, comentaaam, apontem os erros, se tiver, debatam! Tmj!! (galera, se puderem me ajudar com a dúvida que tenho em química, sobre entalpia e entalpia molar, agradeceria dmsss)
Antes, vale a pena relembrar que o momento relativístico é dado por [tex3]p=\gamma\cdot m v[/tex3] , em que [tex3]\gamma[/tex3] é o fator de Lorentz, dado por: [tex3]\gamma=\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}[/tex3] ; além disso, vale a pena salientar que a força é dada por: [tex3]F=\frac{dp}{dt}[/tex3] .
Vamos recorrer, agora, ao teorema da energia cinética, o qual afirma que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética. Suponha que uma força irá realizar trabalho sobre um corpo de massa [tex3]m[/tex3] de uma distância de 0 m até x m , sendo que na posição 0 m a velocidade é nula e que na posição x m a velocidade é [tex3]v[/tex3] . Assim:
[tex3]W=\int\limits_{0}^{x}Fdx=\Delta K \rightarrow \int\limits_{0}^{x}\frac{dp}{dt}dx=K-0 \rightarrow \boxed{\int\limits_{0}^{p}vdp=K}\hspace{10pt} \color{red}{\text{(i)}} [/tex3] , em que K é a energia cinética e [tex3]\frac{dx}{dt}=v[/tex3] .
Para prosseguir, vamos derivar a equação do momento relativístico em relação à velocidade:
[tex3]\frac{dp}{dv} =\frac{d[\gamma\cdot m v]}{dv} \rightarrow\frac{dp}{dv} =m\cdot \(\frac{d[\gamma]}{dv}\cdot v+\frac{d[v]}{dv}\cdot\gamma\) \rightarrow\\
\frac{dp}{dv} =m\cdot\[-\frac{1}{2}\cdot\(1- \(\frac{v}{c}\)^{2}\)^{-1.5}\cdot \frac{(-2v)}{c^{2}}\cdot v+1\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\] [/tex3]
Colocando em evidência o fator de Lorentz:
[tex3]\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \(\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-1}+1\) \rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \[\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)+1\]=m\cdot\gamma\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)\rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1} \therefore \\
\boxed{dp =m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv}\hspace{10pt}\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3]
Substituindo [tex3]dp[/tex3] da equação [tex3]\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3] na equação [tex3]\color{red}{\text{(i)}}[/tex3] , temos:
[tex3]\int\limits_{0}^{p}vdp=K\rightarrow \int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K[/tex3]
Fazendo-se [tex3]u= 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}[/tex3] , e derivando [tex3]u[/tex3] em relação à velocidade [tex3]v[/tex3] , tem-se que:
[tex3]\frac{d[u]}{dv}=\frac{d}{dv}\[1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\]= -2\cdot\frac{v}{c^{2}} \rightarrow du=-2\cdot\frac{v}{c^{2}}\cdot dv[/tex3] ou melhor: [tex3]dv=-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du[/tex3] .
Dessa forma:
[tex3]\int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K\rightarrow K=\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}v\cdot m \cdot(u)^{-1.5}\(-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du\) \rightarrow K=\frac{-mc^{2}}{2}\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} (u)^{-1.5}\cdot du[/tex3] .
Resolvendo essa integral básica:
[tex3]K=\frac{-mc^{2}}{2}\cdot \[-2\cdot u^{-0.5}\]_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\rightarrow K= m\cdot c^{2}\cdot \[\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-0.5}-1\]\rightarrow K=mc^{2}\cdot(\gamma-1)[/tex3]
Eis a equação com a qual se pode determinar a energia cinética relativística. Prosseguindo e reorganizando os termos:
[tex3]K=mc^{2}\cdot(\gamma-1) \rightarrow K=mc^{2}\cdot \gamma-mc^{2}[/tex3]
Segundo consta em livros como Halliday (não sei informar se essa parte de energia total foi afirmada por Einstein, se alguém souber comenta aquiiii
), a energia total de um dado objeto, supondo que a energia potencial seja nula, é dada por [tex3]\varepsilon=\gamma mc^{2}[/tex3]
. Então:[tex3]K +mc^{2}=\gamma mc^{2} \therefore \varepsilon=K+mc^{2}[/tex3] , em que [tex3]mc^{2}[/tex3] representa a energia de repouso (lembra que láaa no início o intervalo da primeira integral era entre 0 e x??).
Resposta
Finalmente: [tex3]E_{\text{repouso}}=mc^{2},c.q.d.[/tex3]