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Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Fórmula de Snell Tópico resolvido
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Nov 2012
22
16:13
Fórmula de Snell
[tex3]\frac{v_{1}}{\text{sen }\theta _{1}}=\frac{v_{2}}{\text{sen }\theta _{2}}[/tex3]
Valeu!
Editado pela última vez por Rafael16 em 22 Nov 2012, 16:13, em um total de 3 vezes.
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Nov 2012
27
17:04
Re: Fórmula de Snell
E ai, vamos lá.
Sabemos que:
[tex3]n = \frac{c}{v} (I)[/tex3]
Logo,
[tex3]n_1\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= n_2\cdot {\text{sen }\theta _{2}} (II)[/tex3]
Colocando I em II
[tex3]\frac{c}{v_1}\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= \frac{c}{v_2}\cdot {\text{sen }\theta _{2}}[/tex3] (Cortamos os C e temos:)
[tex3]\boxed{\frac{\text{sen }\theta _1}{v_1}= \frac{\text{sen }\theta _2}{v_2}}[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]n = \frac{c}{v} (I)[/tex3]
Logo,
[tex3]n_1\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= n_2\cdot {\text{sen }\theta _{2}} (II)[/tex3]
Colocando I em II
[tex3]\frac{c}{v_1}\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= \frac{c}{v_2}\cdot {\text{sen }\theta _{2}}[/tex3] (Cortamos os C e temos:)
[tex3]\boxed{\frac{\text{sen }\theta _1}{v_1}= \frac{\text{sen }\theta _2}{v_2}}[/tex3]
Editado pela última vez por mvasantos em 27 Nov 2012, 17:04, em um total de 3 vezes.
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Nov 2012
27
18:49
Re: Fórmula de Snell
Consideremos um raio de luz que parte de [tex3]A[/tex3]
Sejam [tex3]h_1[/tex3] e [tex3]h_2[/tex3] , respectivamente, as distâncias entre a superfície de separação e os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e [tex3]l[/tex3] a distância entre as projeções de [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sobre a superfície de separação. O ponto [tex3]B[/tex3] será aquele para o qual o trajeto [tex3]ABC[/tex3] seja percorrido em menor tempo.
Portanto, para que o caminho percorrido pela luz seja aquele em que seja gasto o menor tempo, esta deve ser a relação entre os ângulos de incidência e refração e os índices de refração.
, no meio 1, em que sua velocidade tem intensidade [tex3]V_1[/tex3]
, até [tex3]C[/tex3]
, no meio 2, onde sua velocidade é [tex3]V_2[/tex3]
passando pelo ponto [tex3]B[/tex3]
(que pertence à superfície de separação entre os meios, cujos índices de refração são [tex3]n_1[/tex3]
e [tex3]n_2[/tex3]
, respectivamente).Sejam [tex3]h_1[/tex3] e [tex3]h_2[/tex3] , respectivamente, as distâncias entre a superfície de separação e os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e [tex3]l[/tex3] a distância entre as projeções de [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sobre a superfície de separação. O ponto [tex3]B[/tex3] será aquele para o qual o trajeto [tex3]ABC[/tex3] seja percorrido em menor tempo.
A velocidade da luz em cada meio é constante, portanto:
[tex3]V=\frac{\Delta s}{\Delta t}\Longrightarrow \Delta t=\frac{\Delta s}{V}[/tex3]
[tex3]t=\Delta t_1+\Delta t_2[/tex3]
[tex3]t=\frac{AB}{V_1}+\frac{BC}{V_2}[/tex3]
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos [tex3]AA'B[/tex3]
e [tex3]CC'B[/tex3]
e substituindo as distâncias, temos:[tex3]t=\Delta t_1+\Delta t_2[/tex3]
[tex3]t=\frac{AB}{V_1}+\frac{BC}{V_2}[/tex3]
[tex3]t=\frac{1}{V_1}\cdot\sqrt{h_1^2+x^2}+\frac{1}{V_2}\cdot\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}[/tex3]
Para que o intervalo de tempo seja mínimo, [tex3]\frac{dt}{dx}=0[/tex3]
.[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{h_1^2+x^2}}\cdot 2x+\frac{1}{V_2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}\cdot(-2l+2x)=0[/tex3]
[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}=\frac{1}{V_2}\cdot\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}\qquad\text{(I)}[/tex3]
Ainda nos triângulos [tex3]AA'B[/tex3]
e [tex3]CC'B[/tex3]
, obtêm-se as relações trigonométricas:[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}=\frac{1}{V_2}\cdot\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}\qquad\text{(I)}[/tex3]
[tex3]\operatorname{sen}\theta_1=\frac{A'B}{AB}=\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}[/tex3]
[tex3]\operatorname{sen}\theta_2=\frac{BC'}{BC}=\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}[/tex3]
Substituindo em [tex3]\text{(I)}[/tex3]
:[tex3]\operatorname{sen}\theta_2=\frac{BC'}{BC}=\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\operatorname{sen}\theta_1=\frac{1}{V_2}\cdot\operatorname{sen}\theta_2\qquad\text{(II)}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{V_{1}}{\operatorname{sen}\theta_{1}}=\frac{V_2}{\operatorname{sen}\theta_2}}[/tex3]
De [tex3]\text{(II)}[/tex3]
, multiplicando ambos os membros por [tex3]c[/tex3]
(módulo da velocidade da luz no vácuo):[tex3]\boxed{\frac{V_{1}}{\operatorname{sen}\theta_{1}}=\frac{V_2}{\operatorname{sen}\theta_2}}[/tex3]
[tex3]\frac{c}{V_1}\cdot\operatorname{sen}\theta_1=\frac{c}{V_2}\cdot\operatorname{sen}\theta_2[/tex3]
Como [tex3]n=\frac{c}{V}[/tex3]
:[tex3]\boxed{\boxed{n_1\cdot\operatorname{sen}\theta_1=n_2\cdot\operatorname{sen}\theta_2}}[/tex3]
Essa é a lei de Snell-Descartes.Portanto, para que o caminho percorrido pela luz seja aquele em que seja gasto o menor tempo, esta deve ser a relação entre os ângulos de incidência e refração e os índices de refração.
Editado pela última vez por Vinícius em 27 Nov 2012, 18:49, em um total de 3 vezes.
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