Relação entre Alcance e a Altura do Projétil
Enviado: Sáb 28 Jul, 2012 18:07
por FilipeCaceres
Seja [tex3]A[/tex3]
o alcance [tex3]\alpha[/tex3]
o ângulo de disparo e [tex3]h[/tex3]
a altura máxima atingida por um projétil. Temos a seguinte relação.
[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]
Demonstração:
Da cinemática tiramos
[tex3]A=v_x\cdot t[/tex3]
[tex3]v_y=g\cdot t_s[/tex3]
Multiplicando as equações e sabendo que [tex3]t=2t_s[/tex3]
[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot t_s^2[/tex3]
Também temos,
[tex3]t_s^2=\frac{2h}{g}[/tex3]
Logo,
[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot \frac{2h}{g}[/tex3]
[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\frac{4h}{A}[/tex3]
E
[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\tan\alpha[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]
. Como queríamos demonstrar.
Abraço.
Re: Relação entre Alcance e a Altura do Projétil
Enviado: Sáb 28 Jul, 2012 19:23
por emanuel9393
Uma outra forma de demonstrar essa relação:
------------------------------------------------------------------------
Demonstração 2:
Vamos primeiramente determinar a altura [tex3]h[/tex3]
do projétil:
[tex3]v_{y}^{2} \, = \, v_{0y}^{2} \, + \, 2 \cdot \alpha \cdot y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 \, = \, 2 \cdot v_{0y}^{2} \, - \, 2 \cdot g \cdot h \\ \\ h \, = \, \frac{v_{0y}^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{\left(v_{0} \cdot \sin \, \alpha\right)^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} \, \alpha}{2 \cdot g } \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin \, \alpha \, = \, \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha} \,\,\,\,\,\,\, (I)[/tex3]
Ainda no movimento vertical, temos que o corpo retorna ao nível de lançamento com velocidade [tex3]- \, v_{0y}[/tex3]
. Com isso:
[tex3]- \, v_{0y} \, = \, v_{0y} \, - \, g \cdot t \,\,\, \Rightarrow \,\,\, t \, = \, \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\,\,\, \left(\times \,\, v_{x}\right) \\ \\ \underbrace{v_{x} \cdot t}_{A} \, = \, v_{x} \cdot \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, v_{0} \cdot \cos \, \alpha \left( \frac{2 \cdot v_{0} \cdot \sin \, \alpha}{g}\right) \\ \\ A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\,\,\,\, (II)[/tex3]
Substituindo [tex3](I)[/tex3]
em [tex3](II)[/tex3]
, encontramos:
[tex3]A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \cos \, \alpha }{g} \cdot \left( \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha}\right) \\ \\ \\ A \, = \, \frac{4 \cdot h}{\tan \, \alpha} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{\tan \, \alpha \,= \, \frac{4 \cdot h}{A}}}[/tex3]
Como podemos observar, é a mesma relação apresentada pelo Filipe Caceres.
Um abraço!
Re: Relação entre Alcance e a Altura do Projétil
Enviado: Sáb 28 Jul, 2012 19:28
por emanuel9393
Vou deixar um desafio para você, Filipe Caceres:
Determine o ângulo
para o qual o alcance atingido pelo projétil é o máximo possível.
Um abraço!
Re: Relação entre Alcance e a Altura do Projétil
Enviado: Sex 28 Dez, 2012 22:38
por emanuel9393
Valeu, Filipe!
É isso mesmo. Um abraço e até a próxima!
