Considere a malha [tex3]n\times n[/tex3]
Seja [tex3]R_1[/tex3]
a resistência equivalente da malha com todas as chaves abertas, e [tex3]R_2[/tex3]
a resistência equivalente com todas as chaves fechadas.
Note que [tex3]R_1[/tex3]
é a resistência equivalente de [tex3]n[/tex3]
resistências, cada uma de valor [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i[/tex3]
, associadas em paralelo. Portanto: [tex3]R_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}[/tex3]
Com todas as chaves fechadas, veja que todos os grupos verticais de resistores estão associados em paralelo, de modo que, nesse caso, temos [tex3]n[/tex3]
resistências, cada uma de valor [tex3]\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}[/tex3]
, associadas em série. Portanto: [tex3]R_2=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}[/tex3]
.
Mas, indo da configuração 1 para a configuração 2, nós estamos disponibilizando mais caminhos, isentos de resistência, para a corrente no circuito circular, e a corrente real em um circuito sempre percorre o caminho que dissipa a menor potência possível (o caminho que menos resiste à sua passagem). Por isso, ao fecharmos as chaves, é paradoxal que a resistência equivalente aumente. Logo, [tex3]R_1\geq R_2[/tex3]
.
(Esse argumento é bem heurístico, mas ele é formalizado pela Lei da Monotonicidade de Rayleigh)
Os valores de [tex3]a_i[/tex3]
são completamente arbitrários: poderíamos escolher quaisquer números positivos para assumirem esses valores. Isso prova a desigualdade MA-MH:
[tex3]\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} \forall a_i>0 [/tex3]
de resistores mostrada abaixo, com uma chave em cada segmento vertical.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Desigualdade MA-MH via Eletrodinâmica
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