Demonstrações

A famosa relação de Torricelli da cinemática é válida para o movimento uniformemente variado. Ela é dada por:

[tex3] v_f^2 = v_0^2 + 2a \Delta s = v_0^2 + 2a(s_f-s_0) [/tex3]

Esta relação muito útil infelizmente só é aplicável para movimentos em que a aceleração é constante (na direção de [tex3]s[/tex3] ).

Há, porém, uma generalização muito poderosa, aplicável a todo tipo de aceleração e que permite resolver problemas mais complexos da cinemática. Um movimento genérico e não uniforme precisa ser descrito com o poder do cálculo diferencial, em particular, com o uso de derivadas e da regra da cadeia.

A derivada de uma função [tex3]f[/tex3] definida em [tex3]\mathbb R[/tex3] é definida como o seguinte limite:

[tex3]f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{df}{dx}[/tex3]

o limite pode ser encarado como o valor para onde a taxa de variação de [tex3]f[/tex3] em relação a um [tex3]h =\Delta x[/tex3] ([tex3]\Delta x[/tex3] é uma variável independente de [tex3]x[/tex3] , não há relação entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]h[/tex3]) muito próximo de zero converge. Um exemplo: a derivada da função polinomial [tex3]f(x) = x^n, n \in \mathbb N[/tex3] :

[tex3]f(x+h) = (x+h)^n \implies f(x+h)-f(x) = (x+h)^n - x^n = \sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i} x^i h^{n-i}[/tex3]

Então:

[tex3]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i} x^i h^{n-i}}h = \sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i} x^i h^{n-i-1} = nx^{n-1} +\sum_{i=0}^{n-2} {n \choose i} x^i h^{n-i-1}[/tex3]

Após a manipulação algébrica, aplicamos o limite:

[tex3]\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}(nx^{n-1}) +\lim_{h \rightarrow 0}(\sum_{i=0}^{n-2} {n \choose i} x^i h^{n-i-1})= n x^{n-1} +\sum_{i=0}^{n-2} {n \choose i} x^i \lim_{h \rightarrow 0}(h^{n-i-1}) = nx^{n-1} +\sum_{i=0}^{n-2} {n \choose i} x^i\cdot 0[/tex3]

[tex3]f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = nx^{n-1} +0 = nx^{n-1}[/tex3]

Em particular, quando [tex3]f[/tex3] é a função posição de uma partícula e [tex3]x[/tex3] representa o tempo, temos que a derivada de [tex3]f[/tex3] em relação a [tex3]t[/tex3] nos dá a velocidade instantânea da partícula no instante [tex3]t[/tex3] :

[tex3]v = \frac {ds}{dt} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} [/tex3]

A generalização da relação de Torricelli é uma aplicação da regra da cadeia:

Seja a função horária: [tex3]s(t)[/tex3] associada à função velocidade [tex3]v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t)[/tex3] .

derivemos a velocidade em relação à variável [tex3]s[/tex3] (não a [tex3]t[/tex3] ):

[tex3]\frac{dv}{ds} = \frac{d}{ds} s'(t) = \frac{d s'(t)}{dt} \cdot \frac{dt}{ds} = \frac{s''(t)}{v(t)}[/tex3]

([tex3]\frac{dt}{ds} = \frac1{v(t)}[/tex3] é consequência da derivada da função inversa)
na notação de Leibniz, temos:

[tex3] v dv = a ds[/tex3] ,

onde [tex3]a = s''(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt}[/tex3] é a aceleração da partícula. Ao integrarmos dos dois lados, obtemos:

[tex3]v_f^2 = v_0^2 + 2 \int_{s_0}^{s_f} a ds[/tex3]

que permite obter a velocidade de uma partícula a partir da expressão da aceleração em termos da posição.

Aplicação: viewtopic.php?f=15&t=96364&p=266056&hil ... na#p266056

É possível generalizar ainda mais essa relação cinemática, que provavelmente deu origem à lei de conservação de energia, da seguinte maneira:

Sejam [tex3]\vec v = (v_1,v_2,...,v_n) [/tex3] e [tex3]\vec a = (a_1,a_2,...,a_n) = \frac{d\vec v}{dt} = (\frac{dv_1}{dt},\frac{dv_2}{dt},...,\frac{dv_n}{dt})[/tex3]

Dizemos que [tex3]\vec{v}= |v|\hat{v}[/tex3] , no qual [tex3]|v|[/tex3] é o módulo de [tex3]\vec{v}[/tex3] , que vale [tex3]|v| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}[/tex3] , e [tex3]\hat{v}[/tex3] é o versor da velocidade: o vetor de módulo unitário que aponta na direção e sentido do vetor velocidade.

"[tex3]\cdot[/tex3] " representará o produto escalar entre dois vetores, significando que [tex3]a \cdot b[/tex3] é o produto escalar dos vetores [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] .

Podemos mostrar que [tex3]\vec v \cdot d(\vec v) = \vec a \cdot \vec{ds}[/tex3] , pois [tex3]\vec v\cdot d(\vec v) = v_1dv_1+v_2dv_2 +...+v_ndv_n[/tex3] e ai é aplicar o resultado acima pra cada coordenada [tex3]v_1dv_1 = a_1 ds_1[/tex3] , sendo [tex3]v_1 = \frac{ds_1}{dt}[/tex3] .

Como [tex3]\hat v \cdot \vec v = \hat v \cdot |v|\hat v = |v|(\hat v \cdot \hat v) = |v| \cdot 1 = |v|[/tex3] , então:

[tex3]d(|v|) = d(\hat v \cdot \vec v) = d(\hat v) \cdot \vec v + \hat v \cdot d(\vec v) = \\ = \vec v \cdot (\frac{d (\vec v)}{|v|} - \vec v\frac{d(|v|)}{|v|^2}) + \frac{\vec v}{|v|} \cdot d(\vec v) = 2 \hat v \cdot d(\vec v) - d(|v|) \implies \boxed{d(|v|) = \hat v \cdot d(\vec v)} [/tex3]

Então:

[tex3]|v|d(|v|) = |v|\hat v \cdot d(\vec v) = \vec v \cdot d(\vec v) = \vec a \cdot \vec{ds} \implies \\ \implies |v_2|^2 = |v_1|^2 +2 \int_{\gamma} \vec a \cdot d\vec \gamma[/tex3]

que é a forma geral da conservação da energia mecânica para uma partícula de massa fixa (qualquer dimensão 2D-3D-4D...)!
Note que o lado direito é o trabalho da força resultante. A conservação de energia vem dessa equação puramente cinemática.

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