Demonstrações ⇒ Demonstração - Desigualdade MA-MH via Eletrodinâmica

[παθμ]

Considere a malha [tex3]n\times n[/tex3] de resistores mostrada abaixo, com uma chave em cada segmento vertical.

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Seja [tex3]R_1[/tex3] a resistência equivalente da malha com todas as chaves abertas, e [tex3]R_2[/tex3] a resistência equivalente com todas as chaves fechadas.

Note que [tex3]R_1[/tex3] é a resistência equivalente de [tex3]n[/tex3] resistências, cada uma de valor [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i[/tex3], associadas em paralelo. Portanto: [tex3]R_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}[/tex3]

Com todas as chaves fechadas, veja que todos os grupos verticais de resistores estão associados em paralelo, de modo que, nesse caso, temos [tex3]n[/tex3] resistências, cada uma de valor [tex3]\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}[/tex3], associadas em série. Portanto: [tex3]R_2=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}[/tex3].

Mas, indo da configuração 1 para a configuração 2, nós estamos disponibilizando mais caminhos, isentos de resistência, para a corrente no circuito circular, e a corrente real em um circuito sempre percorre o caminho que dissipa a menor potência possível (o caminho que menos resiste à sua passagem). Por isso, ao fecharmos as chaves, é paradoxal que a resistência equivalente aumente. Logo, [tex3]R_1\geq R_2[/tex3].

(Esse argumento é bem heurístico, mas ele é formalizado pela Lei da Monotonicidade de Rayleigh)

Os valores de [tex3]a_i[/tex3] são completamente arbitrários: poderíamos escolher quaisquer números positivos para assumirem esses valores. Isso prova a desigualdade MA-MH:

[tex3]\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} \forall a_i>0 [/tex3]