DemonstraçõesDemonstração-Movimento uniformemente variado (Teorema 1)

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emanuel9393
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Abr 2014 02 23:59

Demonstração-Movimento uniformemente variado (Teorema 1)

Mensagem não lida por emanuel9393 » Qua 02 Abr, 2014 23:59

Considere um corpo, inicialmente em repouso, que executa um movimento com aceleração constante [tex3]\alpha[/tex3] a partir do instante [tex3]t_0 =0[/tex3] . Demonstre a seguintes proposição:

"As diferenças entre das distâncias percorridas em intervalos de tempo consecutivo e iguais a [tex3]1[/tex3] unidade de tempo são sempre as mesmas e têm o valor numérico de [tex3]\alpha[/tex3]"

Demonstração:
O corpo em questão tem movimento descrito pela seguinte função horária da posição:
[tex3]s(t) = s_0 + v_0t + \dfrac{\alpha}{2}t^2 \Rightarrow s(t) = \dfrac{\alpha}{2}t^2 \ \ \ \ (s_0=0, t_0=0)[/tex3]
Logo, de acordo com a figura abaixo, devemos determinar a diferença entre as distâncias percorridas [tex3]d_n = s(n) - s(n-1)[/tex3] e [tex3]d_{n+1} = s(n+1) - s(n)[/tex3] . Determinando cada um desses termos:
[tex3]d_n = s(n) - s(n-1) = \dfrac{\alpha}{2}n^2 - \dfrac{\alpha}{2} (n-1)^2 = \dfrac{\alpha}{2}\left[n^2 - \left(n^2 - 2n + 1\right) \right] = \dfrac{\alpha}{2} (2n-1)[/tex3]
Da mesma forma:
[tex3]d_{n+1}= s(n+1)-s(n) = \dfrac{\alpha}{2}(n+1)^2 - \dfrac{\alpha}{2}n^2 = \dfrac{\alpha}{2}\left[\left(n^2+2n+1\right) - n^2\right] = \dfrac{\alpha}{2}\left(2n+1\right)[/tex3]
Finalmente:
[tex3]d_{n+1} - d_n = \dfrac{\alpha}{2}(2n+1) - \dfrac{\alpha}{2}(2n-1) = \alpha \ \ \ \text{c.q.d.}[/tex3]
Uma conclusão importante dessa demonstração é que a distância percorrida durante a enésima unidade de tempo é um múltiplo ímpar da distância percorrida na primeira unidade de tempo.

Usem esse conhecimento!
Grande abraço! :wink:

Editado pela última vez por emanuel9393 em Qua 02 Abr, 2014 23:59, em um total de 2 vezes.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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