Ensino Médio ⇒ Polinômios
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Dez 2021
05
16:41
Polinômios
Se cada raiz da equação x²+bx+6=0 tem exatamente uma unidade a mais que cada raiz da equação x²+x+c=0, qual o valor de B+C?
Última edição: marcelada (Dom 05 Dez, 2021 16:55). Total de 1 vez.
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MateusQqMD 
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Dez 2021
05
17:43
Re: Polinômios
Olá marcelada,
Sejam [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] as raízes de [tex3]x^2 + bx + 6 = 0.[/tex3]
Sabemos que
E usando que as raízes de [tex3]x^2 + x + c = 0[/tex3] são uma unidade a mais que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2,[/tex3] vem
e daí [tex3]- b = x_1 + x_2,[/tex3] que implica [tex3]b = -1,[/tex3] usando [tex3]1 = x_1 + x_2.[/tex3] Substituindo em [tex3]c= x_1\cdot x_2 - x_1 - x_2 + 1[/tex3] temos que [tex3]c = 6 - 1 +1 = 6.[/tex3]
Assim, [tex3]b + c = -1 + 6 = 5.[/tex3]
Sejam [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] as raízes de [tex3]x^2 + bx + 6 = 0.[/tex3]
Sabemos que
[tex3]\begin{cases}
-b = x_1 + x_2 \\
6 = x_1 \cdot x_2
\end{cases}[/tex3]
-b = x_1 + x_2 \\
6 = x_1 \cdot x_2
\end{cases}[/tex3]
E usando que as raízes de [tex3]x^2 + x + c = 0[/tex3] são uma unidade a mais que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2,[/tex3] vem
[tex3]\begin{cases}
-1 = (x_1 -1) + (x_2 - 1) \\
c = (x_1 - 1)(x_2 -1)
\end{cases} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}
1 = x_1 + x_2 \\
c= x_1\cdot x_2 - x_1 - x_2 + 1
\end{cases}[/tex3]
-1 = (x_1 -1) + (x_2 - 1) \\
c = (x_1 - 1)(x_2 -1)
\end{cases} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}
1 = x_1 + x_2 \\
c= x_1\cdot x_2 - x_1 - x_2 + 1
\end{cases}[/tex3]
e daí [tex3]- b = x_1 + x_2,[/tex3] que implica [tex3]b = -1,[/tex3] usando [tex3]1 = x_1 + x_2.[/tex3] Substituindo em [tex3]c= x_1\cdot x_2 - x_1 - x_2 + 1[/tex3] temos que [tex3]c = 6 - 1 +1 = 6.[/tex3]
Assim, [tex3]b + c = -1 + 6 = 5.[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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