19 - Na figura; calcular a área da região
triangular sombreada. Se : AE = 2m e FB = 4m.
Resposta
A) 4m2
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Corrigindo:rodBR escreveu: ↑Sáb 04 Dez, 2021 11:44Solução:
Considerando [tex3]EF[/tex3] tangente a semicircunferência em [tex3]T[/tex3] , [tex3]\angle AOE=\theta[/tex3] e [tex3]\angle BOF=\alpha[/tex3] e [tex3]R[/tex3] o raio da semicircunferência.
De [tex3]T[/tex3] ser ponto de tangência, pelo Teo. do bico segue que [tex3]AE=ET=2[/tex3] e de maneira análoga [tex3]FB=FT=4 \ m[/tex3] . Disso, temos que [tex3]EF=ET+FT \ \therefore \ ET=6 \ m[/tex3] .
[tex3]∆EAO\cong∆ETO[/tex3] (caso [tex3]L.L.L[/tex3] ), daí [tex3]\angle AOE=\angle TOE=\theta [/tex3] e de maneira análoga [tex3]∆ FBO\cong ∆FTO\implies[/tex3] [tex3]\angle BOF=\angle TOF=\alpha [/tex3] , assim, [tex3]2\alpha +2\theta=180^{\circ}\iff\alpha+\theta=90^{\circ}=\angle EOF[/tex3] .
Por [tex3]F[/tex3] trace [tex3]EH\perp BF \
\ (H\in BF) [/tex3] . Como [tex3]AE\parallel BF\implies HF=FB-AE \ \therefore \ HF=2 \ m[/tex3] .
Teo. Pitágoras no [tex3]∆EHF[/tex3] : [tex3]EH=\sqrt{6^2-2^2} \ \therefore \ EH=4\sqrt2\iff R=2\sqrt2[/tex3] .
Área da região triangular sombreada:
[tex3]A_{sombreada}=\frac{R^2}{2}\iff\boxed{\boxed{A_{sombreada}=4 \ m^2}}[/tex3]
att>>rodBR