Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:14 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
14 - Na figura; calcular a área do triângulo
sombreado, se a área do quadrado ABCD é
[tex3]{4(\sqrt{2+\sqrt{3}})}[/tex3])m².

Resposta

---

A) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[rodBR]

[tex3]∆BFC[/tex3]

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[tex3]∆BFC[/tex3]

é equilátero (pois [tex3]BC=CF=FB[/tex3]

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[tex3]BC=CF=FB[/tex3]

, daí [tex3]\angle BDF=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle BDF=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}[/tex3]

e [tex3]\angle DBF=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle DBF=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}[/tex3]

.

Sendo [tex3]\ell[/tex3]

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[tex3]\ell[/tex3]

no lado do quadrado, pela lei dos Senos no [tex3]∆BDF[/tex3]

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[tex3]∆BDF[/tex3]

:
[tex3]\frac{DF}{\sen15^{\circ}}=\frac{\ell}{\sen30^{\circ}}\\
DF=\frac{\ell}{2cos15^{\circ}}\implies DF=\frac{2\ell}{\sqrt2+\sqrt6}
[/tex3]

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[tex3]\frac{DF}{\sen15^{\circ}}=\frac{\ell}{\sen30^{\circ}}\\
DF=\frac{\ell}{2cos15^{\circ}}\implies DF=\frac{2\ell}{\sqrt2+\sqrt6}
[/tex3]

Área do [tex3]∆BDF[/tex3]

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[tex3]∆BDF[/tex3]

:
[tex3][BDF]=\frac{DF\cdot DB\cdot \sen30^{\circ}}{2}\\
[BDF]=\frac{\frac{2\ell}{\sqrt2+\sqrt6}\cdot\ell\sqrt2\cdot\frac12}{2}\\
[BDF]=\frac{2\ell^2\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt6} \ \ \text{Como }\ell^2=4(\sqrt{2+\sqrt3})=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}, \text{ temos:}\\
[BDF]=\frac{2\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\cdot\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt6}\\
\boxed{[BDF]=\sqrt2 \ m^2}
[/tex3]

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[tex3][BDF]=\frac{DF\cdot DB\cdot \sen30^{\circ}}{2}\\
[BDF]=\frac{\frac{2\ell}{\sqrt2+\sqrt6}\cdot\ell\sqrt2\cdot\frac12}{2}\\
[BDF]=\frac{2\ell^2\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt6} \ \ \text{Como }\ell^2=4(\sqrt{2+\sqrt3})=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}, \text{ temos:}\\
[BDF]=\frac{2\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\cdot\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt6}\\
\boxed{[BDF]=\sqrt2 \ m^2}
[/tex3]

att>>rodBR

[Berredo]

Olha o mestre rodbr.
Destruindo a matemática.
Kkkk