Ensino Médio(FME) Questão 33 - Análise Combinatória Tópico resolvido

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Nekololikuro
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(FME) Questão 33 - Análise Combinatória

Mensagem não lida por Nekololikuro »

33. A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções f: A → B existem?

Eu fiz da seguinte maneira:
Como para um mesmo elemento do domínio não podemos ter mais de um elemento do contradomínio, eu escolhi olhar para o conjunto B. Para cada elemento do conjunto B, temos n opções para escolher um elemento no conjunto A. Desse modo, o número de imagens que podemos formar seria:

[tex3]n.n. .... .n = n^{r}[/tex3]

O que está incorreto nesse raciocíneo?
Resposta

[tex3]r^{n}[/tex3]




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MateusQqMD
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Re: (FME) Questão 33 - Análise Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá Nekololikuro,

A ideia é quase essa!!

Essa sua resposta, na verdade, corresponde ao número de funções B [tex3]\to[/tex3] A , isto é, funções de B em A, pois estamos contando de qnts formas podemos “partir” de B e “atingir” elementos em A.

Pra escolher a imagem do primeiro elemento de A, há
r modos, correto? E, pra todos os outros elementos de A, teremos sempre r elementos pra escolher sua imagem, daí a resposta ser [tex3]r \cdot r \cdot r \cdot … \cdot r = r^n[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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Nekololikuro
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Re: (FME) Questão 33 - Análise Combinatória

Mensagem não lida por Nekololikuro »

Mas então, a cada escoha para um elemento de A eu não teria que perder uma possibilidade pois, caso contrário, poderia ocorrer um mesmo elemento de A com mais de um elemento correpondente e B, o que não configuararia função?



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MateusQqMD
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Re: (FME) Questão 33 - Análise Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Nekololikuro , isso não ocorre pois estamos escolhendo apenas uma imagem para cada elemento em A.

Vamos calcular o número de funções de A em B em relação aos conjuntos abaixo:

(FME) Questão 33 - Análise Combinatória.png
(FME) Questão 33 - Análise Combinatória.png (17.67 KiB) Exibido 693 vezes

Como há 6 elementos em B, a imagem do elemento 1 pertencente ao conjunto A pode ser escolhida de 6 modos. Escolhida a imagem do elemento 1, iremos olhar para os outros elementos de A. De forma semelhante, há 6 modos de escolher a imagem do elemento 2 pertencente ao conjunto A.. e assim por diante, ou seja, sempre teremos 6 possibilidades de imagem para cada elemento de A. Por isso, a resposta é 6 (escolha da imagem de 1) vezes 6 (escolha da imagem de 2) vezes 6 (escolha da imagem de 3) vezes 6 (escolha da imagem de 5) vezes 6 (escolha da imagem de 4) vezes 6 (escolha da imagem de 5) = [tex3]6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^5.[/tex3]

Uma possível função seria a seguinte:

Re (FME) Questão 33 - Análise Combinatória (2).png
Re (FME) Questão 33 - Análise Combinatória (2).png (20.33 KiB) Exibido 693 vezes



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