Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
5 - Calcular a área da região sombreada sabendo
que AM = MC ; BN = 2 NC e a área
do triângulo ABC é 100m².

Resposta

---

B) 10m² (Resposta errada do livro: E) 20m²

[rodBR]

Solução:

Teorema de Menelaus no [tex3]∆BMC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∆BMC[/tex3]

(Secante [tex3]NA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]NA[/tex3]

):
[tex3]\frac{AM}{AC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\boxed{\frac{BP}{PM}=4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AM}{AC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{BP}{PM}=1\\
\boxed{\frac{BP}{PM}=4}[/tex3]

De [tex3][ABC]=100 \ m^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC]=100 \ m^2[/tex3]

e [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

ponto médio, temos [tex3][BAM]=50
\ m^2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][BAM]=50
\ m^2 [/tex3]

, usando propriedade de área de triângulos que possuem mesma altura:
[tex3]\frac{[ABP]}{[APM]}=\frac{BP}{PM} \ \ \text{ propriedade de proporção:}\\
\\ \frac{[ABP]+[APM]}{[APM]}=\frac{4+1}{1}\\
\\ \frac{50}{[APM]}=5 \implies\boxed{\boxed{[APM]=10 \ m^2}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{[ABP]}{[APM]}=\frac{BP}{PM} \ \ \text{ propriedade de proporção:}\\
\\ \frac{[ABP]+[APM]}{[APM]}=\frac{4+1}{1}\\
\\ \frac{50}{[APM]}=5 \implies\boxed{\boxed{[APM]=10 \ m^2}}
[/tex3]

att>>rodBR