Seja C o vértice em comum aos dois hexágonos, I o vértice no hexágono menor contido na reta MP, X encontro dos circuncírculos dos hexágonos (esse encontro existe pois C é um dos encontros, só há um encontro quando os centros dos hexágonos forem alinhados):
[tex3]\angle CXM + \angle IXC = 180[/tex3]
então M, X, I são alinhados
analogamente Q, X, Q' (Q' o vértice do hexágono menor na reta QP) são colineares.
Logo X=P e P está no circuncírculo dos dois hexágonos. Logo ∠MPQ=180−120=60
Uma simples lei dos cossenos nesse triângulo dá o resultado.
Se os centros forem alinhados acho que os hexágonos serão paralelos, e o ângulo MCQ = 60 de qualquer forma.
Trace PN=k
[tex3]\mathsf{
\angle MpN=\angle NpQ=30º~ e~ MN=NQ=x\\
Lei ~dos ~cossenos:\\
x^2=a^2+k^2−ak \sqrt3(I)\\
x^2=k^2+b^2−bk \sqrt3(II)\\
(II)-(I)=0=a^2−b^2+k\sqrt3(b−a)\\
Supondo~ b−a>0:\\
k=\frac{a+b}{\sqrt3}\implies em~I:\\
x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}−a\sqrt3(\frac{a+b}{\sqrt3})\implies\\
x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}−a^2−ab\\
x^2=\frac{a^2+2ab−3ab+b^2}{3}=\frac{a^2-ab+b^2}{3}\\
Completando ~cubos\\
x^2=\frac{(a^2−ab+b^2)(a+b)}{3(a+b)}\\
x^2=\frac{a^3+b^3}{3(a+b)} \therefore \boxed{\color{red}x=\sqrt{\frac{a^3+b^3}{3(a+b)}}}}[/tex3]
(Solução:jvmago/sousóeu -
viewtopic.php?f=4&t=61479&p=163271&hili ... es#p163271)