Ensino MédioTriângulo aritmético e divisibilidade Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
MatheusCNIME
Junior
Mensagens: 17
Registrado em: Seg 01 Nov, 2021 15:53
Última visita: 19-09-23
Nov 2021 26 14:04

Triângulo aritmético e divisibilidade

Mensagem não lida por MatheusCNIME »

Escrevemos um triângulo aritmético, onde na 1° linha aparecem os números naturais de 0 até 1993. Cada linha inferior possui um número a menos, pois o número que aparece na linha de baixo é a soma dos números sucessivos da linha de cime:


0 1 2 3 4 ........ ......... ......... 1992 1993
1 3 5 7 ...... ....... 3981 ......... 3983 3985
4 8 12 ........ ........ ...... 7964 7968
.... .... .... ... ........ .... ...... .... ...... ........
.... ..... ...... ...... ........ ......
..... ...... .......
.... -> última linha
Determine o resto da divisão por 9 do único número que se encontra na última linha do Triângulo Aritmético acima:




Resposta

4




Avatar do usuário
jpedro2001
iniciante
Mensagens: 4
Registrado em: Sex 26 Nov, 2021 14:51
Última visita: 28-11-21
Nov 2021 26 15:21

Re: Triângulo aritmético e divisibilidade

Mensagem não lida por jpedro2001 »

Como trata-se de um número muito grande de números, faz sentido testar casos com uma menor quantidade para tentar entender o padrão
nesse sentido, temos:
- Para 3 elementos:
A0, A1, A2
A0 + A1, A1 + A2
A0 + 2A1 + A2
- Para 4 elementos:
A0, A1, A2, A3
A0 + A1, A1 + A2, A2 + A3
A0 + 2A1 + A2, A1 +2A2 + A3
A0 + 3A1 + 3A2 + A3

Como conjectura, se o triângulo aritmético tem na 1a linha n elementos, o último termo será da forma:

- A0 + Cn-1,1*A1 + Cn-1,2*A2 + ... + Cn-1,j*Aj + ... + Cn-1,n-1*An-1

Então, no caso em que temos 1994 termos na 1a linha, cada termo é da forma:

C1993,j*Aj = C1993,j*j = 1993*C1992,j

O último termo é: 1993*(C1992,0 + C1992,1 + ... + C1992,1992) = 1993*2^1992 = 1980*2^1992 + 13*2^1992.
Basta achar o resto de 13*2^1992 na divisão por 9.
Como 2^1992 = 8^664, como 8 deixa resto -1 na divisão por 9, 8 elevado a um número par deixará resto 1.
E como 13 deixa resto 4 na divisão por 9. 13*2^1992 tem o mesmo resto.

Espero ter ajudado.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”