Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Epcar26** » 25 Nov 2021, 16:38 · Mensagem não lida por **Epcar26** » 25 Nov 2021, 16:38

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{xy} \\
x+y=20
\end{cases}[/tex3]

Resposta

[tex3](10+4\sqrt{6},10-4\sqrt{6})[/tex3]

Pode fazer passo a passo?

LorisFontana · 25 Nov 2021, 23:38

Pega a primeira relação e eleva ao quadrado:
fica: [tex3](\sqrt(x) + \sqrt(y))^2 = (2\sqrt(xy))^2 \rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 4xy \rightarrow x^2 -2xy +y^2 = 0[/tex3]
pega a segunda e eleva ao quadrado tbm: [tex3](x + y)^2 =(20)^2 \rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 400[/tex3]
Diminui a segunda equação pela primeira:
[tex3]x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 -2xy +y^2) = 400 - 0 \rightarrow 4xy = 400 \rightarrow xy = 100[/tex3]
Agora usa essa nova relação [tex3]xy = 100[/tex3] e [tex3]x + y = 20[/tex3]
[tex3]x = \frac{100}{y}[/tex3] , substituindo x em x + y = 20
:
[tex3]\frac{100}{y} + y = 20 \rightarrow 100 + y^2 = 20y \rightarrow y^2 - 20y + 100 = 0 \rightarrow (y -10)^2 = 0 \rightarrow y = 10[/tex3]

Mensagem não lidapor **ragefloyd** » 26 Nov 2021, 02:31 · Mensagem não lida por **ragefloyd** » 26 Nov 2021, 02:31

Quadrando a primeira equação:

[tex3](\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=(2\sqrt{xy})^2 \therefore x-2\sqrt{xy}+y=4xy[/tex3]

Mas, lembrando da segunda equação, [tex3]x+y=20[/tex3]

Logo: [tex3]x-2\sqrt{xy}+y=4xy \therefore 20-2\sqrt{xy}=4xy \therefore 4xy+2\sqrt{xy}-20=0[/tex3]

Substituindo [tex3]\sqrt{xy}=z[/tex3] para reduzir a equação a uma de segundo grau simples:

[tex3]4xy+2\sqrt{xy}-20=0 \therefore 4z^2+2z-20=0[/tex3]

Bhaskara:

[tex3]z=\frac{-2\pm18}{8}=\left\{2\ ;-\frac52\right\}[/tex3]

Mas [tex3]z=\sqrt{xy}\geq0[/tex3] (supondo que [tex3]U=\mathbb{R}[/tex3] ), logo [tex3]z\neq-\frac52\therefore z=2[/tex3]

[tex3]z=2 \therefore \sqrt{xy}=2 \therefore xy=4[/tex3]

Agora temos um novo sistema de equações mais simples:

[tex3]\begin{cases}
xy=4 \\
x+y=20
\end{cases}[/tex3]

Na segunda equação:

[tex3]x+y=20\therefore y=20-x[/tex3]

Substituindo na primeira:

[tex3]x(20-x)=4\therefore x^2-20x+4=0[/tex3]

Bhaskara:

[tex3]x=\frac{20\pm8\sqrt{6}}{2} =10\pm4\sqrt{6}[/tex3]

Se [tex3]x=10+4\sqrt6[/tex3]

Substituindo na segunda equação:

[tex3](10+4\sqrt6)+y=20 \therefore y=10-4\sqrt6[/tex3]

Para [tex3]x=10-4\sqrt6[/tex3] obtêm-se [tex3]y=10+4\sqrt6[/tex3] com método análogo.

Logo, conclui-se que [tex3]S=\{(10+4\sqrt6\ ;10-4\sqrt6)\ ;(10-4\sqrt6\ ;10+4\sqrt6)\}[/tex3]

Ou, abreviadamente:

[tex3]\boxed{S=(10\pm4\sqrt6\ ;10\mp4\sqrt6)}[/tex3]

Qualquer dúvida, pode perguntar

Retificação: checando o caso [tex3]x=10-4\sqrt6[/tex3] e [tex3]y=10+4\sqrt6[/tex3] na primeira equação obtemos:

[tex3]\sqrt{10-4\sqrt6} - \sqrt{10+4\sqrt6}=4[/tex3]
Mas [tex3]\sqrt{10-4\sqrt6} < \sqrt{10+4\sqrt6} [/tex3] , logo [tex3]\sqrt{10-4\sqrt6} - \sqrt{10+4\sqrt6}<0[/tex3]
Mas [tex3]\sqrt{10-4\sqrt6} - \sqrt{10+4\sqrt6}=4>0[/tex3] , logo esse caso deve ser descartado. A única solução válida é a do gabarito:

[tex3]\boxed{S=(10+4\sqrt6\ ; 10-4\sqrt6)}[/tex3]

Mensagem não lidapor **petras** » 26 Nov 2021, 07:34 · Mensagem não lida por **petras** » 26 Nov 2021, 07:34

LorisFontana,
NA primeira equação elevando ao quadrado seria x - 2 [tex3]\sqrt{xy}[/tex3] +y = 4xy

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