Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
3 - No triângulo ABC inscrito em uma circunferência
de raio R = ([tex3]\sqrt{6}[/tex3]-[tex3]\sqrt{2}[/tex3] ) m.
Se tem que um os lados são: AB = l₃ e AC= l₄
Calcular BC.

Resposta

---

B) 2

[petras]

[tex3]\mathsf{\triangle ADE: AE = \frac{R\sqrt2}{2}:AD = R \implies ED = R\\
\therefore \angle ADE = 45^o \implies \triangle~ADC(retângulo)\implies \angle ABC = 45^o\\
l_4 = R\sqrt2 = \sqrt{12}-2 = 2\sqrt3-2\\
l_3 = R\sqrt3 = \sqrt18 - \sqrt6=3\sqrt2 - \sqrt6\\
\triangle ABC: Lei~dos~cossenos:\\
AC^2 = AB^2+BC^2 -2AB.BC.cos45^o \implies\\
16 - 8\sqrt3 =24-12\sqrt{3} +BC^2-2.(3\sqrt2-\sqrt6).BC.\frac{\sqrt2}{2}\\
\therefore BC^2-6BC+2\sqrt3BC +8 - 4\sqrt3 = 0\\
(BC-2)((B+2\sqrt3-4) = 0\\
\boxed{\color{red}BC= 4-2\sqrt3}\\
ou\\
\therefore \boxed{\color{red}BC = 2}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\triangle ADE: AE = \frac{R\sqrt2}{2}:AD = R \implies ED = R\\
\therefore \angle ADE = 45^o \implies \triangle~ADC(retângulo)\implies \angle ABC = 45^o\\
l_4 = R\sqrt2 = \sqrt{12}-2 = 2\sqrt3-2\\
l_3 = R\sqrt3 = \sqrt18 - \sqrt6=3\sqrt2 - \sqrt6\\
\triangle ABC: Lei~dos~cossenos:\\
AC^2 = AB^2+BC^2 -2AB.BC.cos45^o \implies\\
16 - 8\sqrt3 =24-12\sqrt{3} +BC^2-2.(3\sqrt2-\sqrt6).BC.\frac{\sqrt2}{2}\\
\therefore BC^2-6BC+2\sqrt3BC +8 - 4\sqrt3 = 0\\
(BC-2)((B+2\sqrt3-4) = 0\\
\boxed{\color{red}BC= 4-2\sqrt3}\\
ou\\
\therefore \boxed{\color{red}BC = 2}}
[/tex3]

* Há duas possibilidades de resposta.