Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:15 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
15 - Na figura, P e Q são pontos de tangência.
Calcular PQ, se o lado do quadrado ABCD mede "a".

Resposta

---

B) a[tex3]\frac{\sqrt{2}}{5}[/tex3]

[petras]

[tex3]AQ = AD (tangentes)\\\therefore AQ = AD = a\\De~modo~análogo; AP = AQ = a\\\\EQ⊥AQ,ED=EQ,AD=AQ.\\
\therefore △DAE∼△QAE ~e~ ∠DAE=∠QAE=α.\\

∠PAI=2α−45^∘\\

PQ=2PI=2APsin(2α−45^∘) Aplicando ~sen(a-b) \implies\\\\

PQ=\sqrt2 a(sin2α−cos2α)(1),\\

△ADE :notável(a:2a: a\sqrt5) (\rightarrow cosα=\frac{2}{\sqrt5} sinα=\frac{1}{\sqrt5}\\

⟹sin2α=\frac{4}{5},cos2α=\frac{3}{5}\\

Em(1), \therefore{\boxed{\color{red}PQ=\frac{a\sqrt2}{5}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AQ = AD (tangentes)\\\therefore AQ = AD = a\\De~modo~análogo; AP = AQ = a\\\\EQ⊥AQ,ED=EQ,AD=AQ.\\
\therefore △DAE∼△QAE ~e~ ∠DAE=∠QAE=α.\\

∠PAI=2α−45^∘\\

PQ=2PI=2APsin(2α−45^∘) Aplicando ~sen(a-b) \implies\\\\

PQ=\sqrt2 a(sin2α−cos2α)(1),\\

△ADE :notável(a:2a: a\sqrt5) (\rightarrow cosα=\frac{2}{\sqrt5} sinα=\frac{1}{\sqrt5}\\

⟹sin2α=\frac{4}{5},cos2α=\frac{3}{5}\\

Em(1), \therefore{\boxed{\color{red}PQ=\frac{a\sqrt2}{5}}}[/tex3]

(Solução:MathLover)