Ensino Médio

leviata

Considere a função 𝑓(𝑥)= [tex3]\frac{1+2cos(𝑥)}{sen(2𝑥)}[/tex3] e domínio de 𝑓=𝐷𝑜𝑚(𝑓)⊂[0,𝜋].

1. Determine o 𝐷𝑜𝑚(𝑓)

2. Resolva 𝑓(𝑥)≥0 para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)

1) Sabemos que uma função racional não está definida quando o denominador é 0. Vamos encontrar os valores nos quais isso acontece:
[tex3]\sen(2x)=0[/tex3]
[tex3]2x=k\pi, ~~k\in\mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]x={k\pi\over2}[/tex3]
Como o domínio está contido em [tex3][0,\pi][/tex3] , então [tex3]x=0, {\pi\over2}\text{ ou } \pi[/tex3] . Como o numerador está definido para qualquer valor de [tex3]x[/tex3] , então:
[tex3]\text{Dom}(f)=[0,\pi]-\left\{0,{\pi\over2},\pi\right\}[/tex3]
[tex3]\text{Dom}(f)=\(0,{\pi\over2}\)\cup\({\pi\over2},\pi\)[/tex3]

2) Vamos analisar o sinal do numerador e denominador separadamente:
[tex3]\sen(u)=\begin{cases}
0>,\text{ se } 0< u< \pi\\
0<,\text { se } \pi< u<2\pi
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\sen(2x)=\begin{cases}
0>,\text{ se } 0< 2x< \pi\\
0<,\text { se } \pi< 2x<2\pi
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\sen(2x)=\begin{cases}
0>,\text{ se } 0< x< {\pi\over2}\\
0<,\text { se } {\pi\over2}< x<\pi
\end{cases}[/tex3]

[tex3]1+2\cos(x)>0[/tex3]
[tex3]2\cos(x)>-1[/tex3]
[tex3]\cos(x)>-{1\over2}[/tex3]
[tex3]0< x<{2\pi\over3}[/tex3]
Assim, temos:

: 1 mais 2cosx sobre sen2x.png (8.96 KiB) Exibido 269 vezes

Portanto:
[tex3]f(x)\geq 0\iff x\in\(0,{\pi\over2}\)\cup\[{2\pi\over3},\pi\)[/tex3]

Ensino Médio ⇒ funções trigonométricas. Tópico resolvido

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