Ensino Médio

Mensagem não lidapor **owen123** » Sex 22 Out, 2021 22:16

De acordo com os conhecimentos adquiridos no conteúdo de binômio de newton, calcule e determine o que se pede em cada item abaixo:

a) Calcule a e b, sabendo que [tex3](a+b)^{3}=64[/tex3] e que:
[tex3]a^{5}-\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
\end{pmatrix}a^{4}\cdot b+\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
\end{pmatrix}a^{3}\cdot b^{2}-\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
\end{pmatrix}a^{2}\cdot b^{3}+\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
\end{pmatrix}a \cdot b^{4}-b^{5}=-32[/tex3]

b) Sabendo que a > b, resolva o sistema a seguir:

[tex3]\begin{cases}
a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}=81\\
a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}=1024
\end{cases}[/tex3]

Gabarito:
a) a = 1 e b = 3
b) a = 7/2 e b = 1/2

*Cálculos rapaziada por favor

a)
Vamos reorganizar a equação da seguinte forma:
[tex3]a^{5}-{5\choose 1}a^{4}\cdot b+{5\choose 2}a^{3}\cdot b^{2}-{5\choose 3}a^{2}\cdot b^{3}+{5\choose 4}a \cdot b^{4}-b^{5}=-32[/tex3]
[tex3]{5\choose 0}a^{5}-{5\choose 1}a^{4}\cdot b+{5\choose 2}a^{3}\cdot b^{2}-{5\choose 3}a^{2}\cdot b^{3}+{5\choose 4}a \cdot b^{4}-{5\choose 0}b^{5}=-32[/tex3]
[tex3]{5\choose 0}a^{5}+{5\choose 1}a^{4}\cdot(- b)+{5\choose 2}a^{3}\cdot b^{2}+{5\choose 3}a^{2}\cdot (-b)^{3}+{5\choose 4}a \cdot b^{4}+{5\choose 0}(-b)^{5}=-32[/tex3]
Vemos que essa soma é exatamente o Binômio de Newton [tex3](x+y)^5[/tex3] , com [tex3]x=a[/tex3] e [tex3]y=-b[/tex3] , logo:
[tex3](a-b)^5=-32[/tex3]
[tex3]a-b=-2[/tex3]
[tex3]a=b-2[/tex3]
Também sabemos que:
[tex3](a+b)^3=64[/tex3]
[tex3]a+b=4[/tex3]
[tex3]b-2+b=4[/tex3]
[tex3]2b=6[/tex3]
[tex3]b=3[/tex3]

[tex3]a=b-2\implies [/tex3] [tex3]a=1[/tex3]

b)
[tex3]\begin{cases}
a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}=81\\
a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}=1024
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a^{4}+4a^{3}(-b)+6a^{2}b^{2}+4a(-b)^{3}+b^{4}=81\\
a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}=1024
\end{cases}[/tex3]
Podemos ver que ambas as equações são Binômios de Newton, logo:
[tex3]\begin{cases}
(a-b)^4=81\\
(a+b)^{5}=1024
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
|a-b|=3\\
a+b=4
\end{cases}[/tex3]
Como [tex3]a>b[/tex3] , então [tex3]|a-b|=a-b[/tex3] . Logo:
[tex3]\begin{cases}
a-b=3\\
a+b=4
\end{cases}[/tex3]
[tex3]a-b=3\implies a=b+3[/tex3]

[tex3]a+b=4[/tex3]
[tex3]b+3+b=4[/tex3]
[tex3]b={1\over2}[/tex3]

[tex3]a=b+3[/tex3]
[tex3]a={7\over2}[/tex3]

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