Ensino MédioFunção modular

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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MMedicina
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Função modular

Mensagem não lida por MMedicina »

(PUCPR–2017) Considere os seguintes dados. Pode-se dizer
que quando duas variáveis x e y são tais que a cada valor
de x corresponde um único valor de y, segundo uma lei
matemática, diz-se que y é função de x. Considere uma
função f: R->R* que é representada pelo gráfico ao lado.
Analisando o gráfico, julgue as proposições a seguir:
I. f é ímpar.
II. f é injetora.
III. A lei matemática de f é f(x) = ||x| – 1|.
IV. f é crescente se, e só se, x > 1.
V. (f o f)(–1) = (f o f)(1).
A) Somente II é correta.
B) Somente I é correta.
C) Somente III e V são corretas.
D) Todas as proposições são corretas.
E) Todas as proposições são falsas
Só queria tirar uma dúvida específica o que significa (f0f)?
Screenshot_20211022-134710_OneDrive.jpg
Screenshot_20211022-134710_OneDrive.jpg (14.01 KiB) Exibido 330 vezes
Resposta

gabarito C




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petras
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Re: Função modular

Mensagem não lida por petras »

MMedicina,
fof(x) = f(f(x)) é uma função composta assim como gof = g(f(x))

Ex: f(x) = 3x- 5
(fof)(-1) ?

fof(x) = f(f(x) = 3(f(x))-5 = 3(3x-5)-5 = 9x-20
Portanto fof(-1) = 9(-1)-20 = -29




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petras
7 - Einstein
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Out 2021 22 16:14

Re: Função modular

Mensagem não lida por petras »

MMedicina,
fof(x) = f(f(x)) é uma função composta assim como gof = g(f(x))

Ex: f(x) = 3x- 5
(fof)(-1) ?

fof(x) = f(f(x) = 3(f(x))-5 = 3(3x-5)-5 = 9x-20
Portanto fof(-1) = 9(-1)-20 = -29



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PeterPark
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Out 2021 22 23:27

Re: Função modular

Mensagem não lida por PeterPark »

| - não é impar porque a imagem de 1, por exemplo, não é o inverso da imagem de -1.
[tex3]\rule{20cm}{0.9pt}[/tex3]

||- Não é injetora porque mais de um domínio possui a mesma imagem: basta traçar uma reta horizontal no grafico e verificar que corta dois pontos.
[tex3]\rule{20cm}{0.9pt}[/tex3]

|||- [tex3]f(x)=||x|-1|[/tex3] temos:
1- |x|-1>0
Se [tex3]|x|-1\geq0[/tex3] ,ou seja, Se [tex3]|x|\geq1 \rightarrow f(x)=|x|-1[/tex3]
Portanto:
[tex3]f(x)=|x|-1[/tex3] SE [tex3]|x|\geq 1 \rightarrow (x\geq1~~ou~~x\leq-1)[/tex3]

2- |x|-1<0
Se [tex3]|x|-1<0[/tex3] ,ou seja, Se [tex3]|x|<1 \rightarrow f(x)=-|x|+1[/tex3]
Portanto:
[tex3]f(x)=-|x|+1[/tex3] ,SE, [tex3]|x|<1\rightarrow (-1< x<1)[/tex3]

3- Definindo f(x)
[tex3]f(x)=\begin{cases}|x|-1,~~~~~se~~(x\geq1)~~ou~~(x\leq-1) ~~A \\ -|x|+1, ~~se ~~(-1< x<1)~~B\end{cases}[/tex3]

4- Definindo f(x) no conjunto A: |x|-1
A-[tex3](x\geq1)~~ou~~(x\leq-1):[/tex3]
[tex3]f(x) = |x|-1 = \begin{cases} x-1, ~~ se~~(x\geq 0) ~~E~~[(x\geq1)~~ou~~(x\leq-1)]\\ -x-1, ~~se~~(x<0)~~E~~[(x\geq1)~~ou~~(x\leq-1)]\end{cases} = \\\ \\= \begin{cases} x-1, ~~ se~~(x\geq 1)\\ -x-1, ~~se~~(x\leq -1)\end{cases} [/tex3]
modular1.JPG
modular1.JPG (13.07 KiB) Exibido 319 vezes
5- Definindo f(x) no conjunto B: -|x|+1
B-[tex3](-1< x<1)[/tex3] :
[tex3]f(x) = -|x|+1 = \begin{cases} -x+1, ~~ se~~(x\geq 0) ~~E~~(-1< x<1)\\ x+1, ~~se~~(x<0)~~E~~(-1< x<1)\end{cases} = \\\ \\= \begin{cases} -x+1, ~~ se~~(0\leq x<1)\\ x+1, ~~se~~(-1< x<0)\end{cases} [/tex3]
MODULAR2.JPG
MODULAR2.JPG (14.56 KiB) Exibido 319 vezes
Verdadeira.
[tex3]\rule{20cm}{0.9pt}[/tex3]

IV - Não, ela também é crescente se -1<x<0
[tex3]\rule{20cm}{0.9pt}[/tex3]

V- (f o f) (-1)
Lê-se: f "círculo" f do domínio -1.
(f o f) = f(f(x)) ---> Função COMPOSTA

O exercício pede f(f(-1)).
Primeiro, precisamos calcular f(-1):

1-Definindo f(x)
[tex3]f(x) = \begin{cases} x-1, ~~ se~~(x\geq 1)\\ -x-1, ~~se~~(x\leq -1) \\ -x+1, ~~ se~~(0\leq x<1)\\ x+1, ~~se~~(-1< x<0)\end{cases} [/tex3]

2-Calculando f(-1):
f(-1) = -(-1)-1 = 0
f(-1)=0 --> f(f(-1)) = f(0).

3-Calculando f(f(-1)) = f(0):
[tex3]f(x) = \begin{cases} x-1, ~~ se~~(x\geq 1)\\ -x-1, ~~se~~(x\leq -1)\\ -x+1, ~~ se~~(0\leq x<1)~~~~~~se~~encaixa~~aqui\\ x+1, ~~se~~(-1< x<0)\end{cases} [/tex3]
f(0) = -0+1 = 1
f(0) = 1 ---> f(f(-1)) = 1 --> (f o f) (-1) = 1

RESULTADO: (f o f)(-1) = 1

4- Calculando (f o f) (1) -- (mesmos passos usados para calcular (f o f) (-1) ):
f(1) = 0
f(f(1)) = f(0) = 1

RESULTADO: (f o f)(1) = 1

V é verdadeira

Última edição: PeterPark (Sáb 23 Out, 2021 10:10). Total de 4 vezes.


Either you die as a programmer, or live long enough to become a scammer. :wink:

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