Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
8 - Na figura A, B, C e D são pontos de tangência.
Calcular x.

Resposta

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D) [tex3]\frac{ab}{a+b}[/tex3]

[petras]

X é o centro da circunferência de raio x
O_b o centro da circunferência de raio b
O_a o centro da de raio a
A,X e O_b são alinhados, pois tanto X quanto O_b pertencem à bissetriz das retas AB e AD uma vez que os dois pontos ( X e O_b ) equidistam das retas.
Seja T o ponto de tangencia da circunferência de raio x com a reta AB então da semelhança dos triângulos AXT e AO_bB temos
[tex3]\frac{x}{AT} = \frac{b}{AB} \rightarrow AT = \frac{x AB}{b}(I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{AT} = \frac{b}{AB} \rightarrow AT = \frac{x AB}{b}(I)[/tex3]

o mesmo argumento vale pra circunferência de raio a: seu centro está na bissetriz de AB e BC
[tex3]BT = \frac{x AB}{a}(II)\\
(I)+(II):AB = ABx(\frac1a+\frac1b)\\
\implies x = \frac{1}{\frac1a+\frac1b}=\boxed{\color{red} \frac{ab}{a+b}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BT = \frac{x AB}{a}(II)\\
(I)+(II):AB = ABx(\frac1a+\frac1b)\\
\implies x = \frac{1}{\frac1a+\frac1b}=\boxed{\color{red} \frac{ab}{a+b}}[/tex3]

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