Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:35 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
35 - Na figura : MN || AB e AB = a.
Calcular PQ.

Resposta

---

A) [tex3]\frac{a}{4}[/tex3] (Resposta errada do livro: B [tex3]\frac{a}{3}[/tex3])

[petras]

[tex3]\triangle ABC:\\
V=AN\cap MB \cap CP [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle ABC:\\
V=AN\cap MB \cap CP [/tex3]

[tex3]MN\parallel AB \implies \triangle CMN \sim \triangle CAB[/tex3]

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[tex3]MN\parallel AB \implies \triangle CMN \sim \triangle CAB[/tex3]

Sejam CB = b e CA = c [tex3]\therefore MN=ka, CN = kb, CM=kc\\
AP = m, BP = n:\\
T.Ceva~\triangle ABC:\frac{m}{n}\cdot \frac{b(1-k)}{bk}\cdot \frac{ck}{c(1-k)}=1 \rightarrow m=n
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore MN=ka, CN = kb, CM=kc\\
AP = m, BP = n:\\
T.Ceva~\triangle ABC:\frac{m}{n}\cdot \frac{b(1-k)}{bk}\cdot \frac{ck}{c(1-k)}=1 \rightarrow m=n
[/tex3]

Então AP é mediana tanto de ABC quanto MNC.
[tex3]T =CP \cap MN \\\therefore TN = \frac{ka}{2}[/tex3]

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[tex3]T =CP \cap MN \\\therefore TN = \frac{ka}{2}[/tex3]

Da maneira análoga: [tex3]\triangle CPB: \\
TN \parallel PB \implies CQ =mediana~\triangle CPB~e~\triangle CTN\\
J = CQ\cap MN\\
\therefore TJ = \frac{Ka}{4} \\
mas \frac{\triangle CPJ}{\triangle CQT}=k\\
\therefore \boxed{\color{red}PQ =\frac{a}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle CPB: \\
TN \parallel PB \implies CQ =mediana~\triangle CPB~e~\triangle CTN\\
J = CQ\cap MN\\
\therefore TJ = \frac{Ka}{4} \\
mas \frac{\triangle CPJ}{\triangle CQT}=k\\
\therefore \boxed{\color{red}PQ =\frac{a}{4}}[/tex3]

(Solução: undefinied3 - viewtopic.php?f=2&t=61426&p=163090&hili ... PQ#p163090)
* Foi corrigida algumas nomenclaturas que estavam erradas na resolução

"Seja X o encontro das diagonais de um trapézio qualquer e Y o encontro dos lados não paralelos então o teorema de Ceva (ou a geom. projetiva) nos diz que XY é mediana dos dois lados paralelos. - FelipeMartin"