Ensino Médio(FB) Princípio de Dirichlet

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Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Out 2021 16 17:20

(FB) Princípio de Dirichlet

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Prove que existe um elemento da sequência 7, 77, 777, 7777... que é divisível por 2003.




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Ittalo25
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Out 2021 16 18:58

Re: (FB) Princípio de Dirichlet

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Os números da sequência são da forma [tex3]\frac{7 \cdot (10^n-1)}{9}[/tex3] para n inteiro positivo.

Se queremos que [tex3]\frac{7 \cdot (10^n-1)}{9\cdot 2003}[/tex3] seja inteiro, então queremos que:

[tex3]10^n - 1 \equiv 0 \mod(2003) [/tex3]
[tex3]10^n \equiv 1 \mod(2003) [/tex3]

Como [tex3]mdc(2003,10)=1 [/tex3] e 2003 é primo, o pequeno teorema de fermat garante que [tex3]n = 2002 [/tex3] funciona.

Ou seja:
[tex3]\frac{7 \cdot (10^{2002}-1)}{9}[/tex3] é um exemplo de número da sequência divisível por 2003



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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