Ensino Médio ⇒ (FB) Princípio de Dirichlet
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Out 2021
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17:20
(FB) Princípio de Dirichlet
Prove que existe um elemento da sequência 7, 77, 777, 7777... que é divisível por 2003.
Out 2021
16
18:58
Re: (FB) Princípio de Dirichlet
Os números da sequência são da forma [tex3]\frac{7 \cdot (10^n-1)}{9}[/tex3]
Se queremos que [tex3]\frac{7 \cdot (10^n-1)}{9\cdot 2003}[/tex3] seja inteiro, então queremos que:
[tex3]10^n - 1 \equiv 0 \mod(2003) [/tex3]
[tex3]10^n \equiv 1 \mod(2003) [/tex3]
Como [tex3]mdc(2003,10)=1 [/tex3] e 2003 é primo, o pequeno teorema de fermat garante que [tex3]n = 2002 [/tex3] funciona.
Ou seja:
[tex3]\frac{7 \cdot (10^{2002}-1)}{9}[/tex3] é um exemplo de número da sequência divisível por 2003
para n inteiro positivo. Se queremos que [tex3]\frac{7 \cdot (10^n-1)}{9\cdot 2003}[/tex3] seja inteiro, então queremos que:
[tex3]10^n - 1 \equiv 0 \mod(2003) [/tex3]
[tex3]10^n \equiv 1 \mod(2003) [/tex3]
Como [tex3]mdc(2003,10)=1 [/tex3] e 2003 é primo, o pequeno teorema de fermat garante que [tex3]n = 2002 [/tex3] funciona.
Ou seja:
[tex3]\frac{7 \cdot (10^{2002}-1)}{9}[/tex3] é um exemplo de número da sequência divisível por 2003
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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