Questões PerdidasSolucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido

Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
petras
7 - Einstein
Mensagens: 9824
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 26-03-24
Out 2021 15 20:55

Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por petras »

Problema Proposto
25 - O gráfico mostrado é um trapézio isósceles,
O lado QR mede "b" e o lado PQ mede "a". Achar LR
Resposta

E) [tex3]\frac{b(a+b)}{(a-b)}[/tex3]
Anexos
fig2.jpg
fig2.jpg (12.79 KiB) Exibido 467 vezes

Última edição: petras (Sáb 16 Out, 2021 06:19). Total de 1 vez.



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Out 2021 16 04:04

Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Vou embaralhar os nomes dos pontos. Vou chamar os pontos conforme a figura abaixo:
inversao13.png
inversao13.png (20.84 KiB) Exibido 483 vezes
Acho que está claro que [tex3]G,H,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são pontos de contato e que [tex3]P \in BC, Q \in CD[/tex3] etc.

Do teorema de La Hire, vemos que [tex3]AQ[/tex3] é polar de [tex3]S = HE \cap KF[/tex3] , pois: [tex3]HE[/tex3] é polar de [tex3]A[/tex3] e [tex3]KF[/tex3] é polar de [tex3]Q[/tex3] .

Sejam [tex3]\gamma = (GHEF)[/tex3] e [tex3]G' = SG \cap \gamma \neq G[/tex3] . São alguns resultados "triviais" que:

[tex3]G(H,S;K,E) := (H,G';K,E)_\gamma = (E,G;F,H)_\gamma = -1[/tex3]

A última igualdade se deve ao fato do quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3] ser harmônico: veja que como o trapézio é isósceles, ele é simétrico em relação à mediatriz de [tex3]AD[/tex3] , que é a mesma mediatriz de [tex3]BC[/tex3] ; e, que as bissetrizes dos ângulos [tex3]\angle BAD[/tex3] e [tex3]\angle CDA[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]O[/tex3] tal que o [tex3]\triangle OAD[/tex3] é [tex3]O-[/tex3] isósceles, pois [tex3]\angle OAD = \angle ODA \iff \angle BAD = \angle CDA[/tex3] . Então, [tex3]O[/tex3] está sobre a mediatriz de [tex3]BC[/tex3] , portanto, os pontos [tex3]G[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] respectivamente; isto implica que [tex3]GH = GF[/tex3] e [tex3]HE = EF[/tex3] , logo [tex3]GH \cdot EF = GF \cdot EH[/tex3] .

Sabendo então que [tex3]G(H,S;K,E) = -1[/tex3] , e, que [tex3]GH,KF,GK,GE[/tex3] e [tex3]GS[/tex3] são as polares dos pontos [tex3]B,Q,P, \infty[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] ; pode-se concluir que [tex3]G(H,S;K,E) = (B,Z;P,\infty) = -1[/tex3] , o que significa que [tex3]P[/tex3] é ponto médio de [tex3]BZ[/tex3] .

Veja, por fim, que [tex3]\triangle AQR \sim \triangle ZQP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{PZ} = \frac{QR}{QP} = \frac {a}{b}[/tex3] e que [tex3]\triangle LAR \sim \triangle LBP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{BP} = \frac{LR}{LR+a+b} = \frac ba \implies LR = b\frac{b+a}{a-b}[/tex3]

Última edição: FelipeMartin (Sáb 16 Out, 2021 13:03). Total de 3 vezes.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Out 2021 16 06:06

Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por geobson »

Por quarteto hamônico .......................
Anexos
Screenshot_2021-06-12-14-36-43-1.png
Screenshot_2021-06-12-14-36-43-1.png (453.93 KiB) Exibido 469 vezes



Avatar do usuário
Autor do Tópico
petras
7 - Einstein
Mensagens: 9824
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 26-03-24
Out 2021 16 07:50

Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por petras »

PQRL formam um quarteto harmônico
[tex3]\angle DCP = 2\theta\\\angle DCB = 2\alpha\\\therefore \boxed{\alpha + \theta = 90^o}\\O ~é~ excentro~ \triangle ARL\\\angle LOR = \alpha\\O ~é~ excentro~ \triangle QCP\\\angle QOP = \theta\\\\ Por~propriedade^*: \angle ROQ = 90^o -\frac{2\theta}{2}=90-\theta = \alpha \\
\triangle LOQ:\\
OR \text{ é bissetriz interna}\\
\text{OP é bissetriz extenta} [/tex3]

Portanto:

[tex3]LR = x\\
\frac{a+b+x}{x}=\frac{a}{b}\\
ax=ba+b.b+bx\\
ax - bx=b(a+b) \\
x(a-b) = b(a+b)\\ \therefore \boxed{\color{red}x = \frac{b(a+b)}{(a-b)}}
[/tex3]
(Solução: fornecida por Geobson)
*
Anexos
fig1.jpg
fig1.jpg (4.91 KiB) Exibido 431 vezes
fig3.jpg
fig3.jpg (20.93 KiB) Exibido 452 vezes
Última edição: petras (Sáb 16 Out, 2021 14:09). Total de 2 vezes.



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Out 2021 16 12:45

Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por FelipeMartin »

petras, pera ai, você resolveu outro problema, você chamou de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] medidas diferentes do enunciado original. No final, você resolveu o problema do meu livro.
Última edição: FelipeMartin (Sáb 16 Out, 2021 13:49). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Out 2021 16 13:48

Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25

Mensagem não lida por FelipeMartin »

petras, [tex3]\angle ROQ = \alpha[/tex3] por simples cálculo de ângulo, considerando que [tex3]RO[/tex3] e [tex3]QO[/tex3] são biissetrizes externas do [tex3]\triangle RQD[/tex3] . Uma continha bem simples.



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Movido de Ensino Médio para Questões Perdidas em Qua 10 Nov, 2021 09:08 por Jigsaw

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Questões Perdidas”