Vou embaralhar os nomes dos pontos. Vou chamar os pontos conforme a figura abaixo:
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Acho que está claro que [tex3]G,H,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
são pontos de contato e que [tex3]P \in BC, Q \in CD[/tex3]
etc.
Do teorema de La Hire, vemos que [tex3]AQ[/tex3]
é polar de [tex3]S = HE \cap KF[/tex3]
, pois: [tex3]HE[/tex3]
é polar de [tex3]A[/tex3]
e [tex3]KF[/tex3]
é polar de [tex3]Q[/tex3]
.
Sejam [tex3]\gamma = (GHEF)[/tex3]
e [tex3]G' = SG \cap \gamma \neq G[/tex3]
. São alguns resultados "triviais" que:
[tex3]G(H,S;K,E) := (H,G';K,E)_\gamma = (E,G;F,H)_\gamma = -1[/tex3]
A última igualdade se deve ao fato do quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3]
ser harmônico: veja que como o trapézio é isósceles, ele é simétrico em relação à mediatriz de [tex3]AD[/tex3]
, que é a mesma mediatriz de [tex3]BC[/tex3]
; e, que as bissetrizes dos ângulos [tex3]\angle BAD[/tex3]
e [tex3]\angle CDA[/tex3]
concorrem em um ponto [tex3]O[/tex3]
tal que o [tex3]\triangle OAD[/tex3]
é [tex3]O-[/tex3]
isósceles, pois [tex3]\angle OAD = \angle ODA \iff \angle BAD = \angle CDA[/tex3]
. Então, [tex3]O[/tex3]
está sobre a mediatriz de [tex3]BC[/tex3]
, portanto, os pontos [tex3]G[/tex3]
e [tex3]E[/tex3]
são pontos médios de [tex3]BC[/tex3]
e [tex3]AD[/tex3]
respectivamente; isto implica que [tex3]GH = GF[/tex3]
e [tex3]HE = EF[/tex3]
, logo [tex3]GH \cdot EF = GF \cdot EH[/tex3]
.
Sabendo então que [tex3]G(H,S;K,E) = -1[/tex3]
, e, que [tex3]GH,KF,GK,GE[/tex3]
e [tex3]GS[/tex3]
são as polares dos pontos [tex3]B,Q,P, \infty[/tex3]
e [tex3]Z[/tex3]
; pode-se concluir que [tex3]G(H,S;K,E) = (B,Z;P,\infty) = -1[/tex3]
, o que significa que [tex3]P[/tex3]
é ponto médio de [tex3]BZ[/tex3]
.
Veja, por fim, que [tex3]\triangle AQR \sim \triangle ZQP[/tex3]
: [tex3]\frac{AR}{PZ} = \frac{QR}{QP} = \frac {a}{b}[/tex3]
e que [tex3]\triangle LAR \sim \triangle LBP[/tex3]
: [tex3]\frac{AR}{BP} = \frac{LR}{LR+a+b} = \frac ba \implies LR = b\frac{b+a}{a-b}[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.