25 - O gráfico mostrado é um trapézio isósceles,
O lado QR mede "b" e o lado PQ mede "a". Achar LR
Resposta
E) [tex3]\frac{b(a+b)}{(a-b)}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido
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petras
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Out 2021
15
20:55
Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
Problema Proposto
25 - O gráfico mostrado é um trapézio isósceles,
O lado QR mede "b" e o lado PQ mede "a". Achar LR
E) [tex3]\frac{b(a+b)}{(a-b)}[/tex3]
25 - O gráfico mostrado é um trapézio isósceles,
O lado QR mede "b" e o lado PQ mede "a". Achar LR
E) [tex3]\frac{b(a+b)}{(a-b)}[/tex3]
- Anexos
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- fig2.jpg (12.79 KiB) Exibido 501 vezes
Editado pela última vez por petras em 16 Out 2021, 06:19, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Out 2021
16
04:04
Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
Vou embaralhar os nomes dos pontos. Vou chamar os pontos conforme a figura abaixo:
Acho que está claro que [tex3]G,H,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
são pontos de contato e que [tex3]P \in BC, Q \in CD[/tex3]
etc.
Do teorema de La Hire, vemos que [tex3]AQ[/tex3] é polar de [tex3]S = HE \cap KF[/tex3] , pois: [tex3]HE[/tex3] é polar de [tex3]A[/tex3] e [tex3]KF[/tex3] é polar de [tex3]Q[/tex3] .
Sejam [tex3]\gamma = (GHEF)[/tex3] e [tex3]G' = SG \cap \gamma \neq G[/tex3] . São alguns resultados "triviais" que:
[tex3]G(H,S;K,E) := (H,G';K,E)_\gamma = (E,G;F,H)_\gamma = -1[/tex3]
A última igualdade se deve ao fato do quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3] ser harmônico: veja que como o trapézio é isósceles, ele é simétrico em relação à mediatriz de [tex3]AD[/tex3] , que é a mesma mediatriz de [tex3]BC[/tex3] ; e, que as bissetrizes dos ângulos [tex3]\angle BAD[/tex3] e [tex3]\angle CDA[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]O[/tex3] tal que o [tex3]\triangle OAD[/tex3] é [tex3]O-[/tex3] isósceles, pois [tex3]\angle OAD = \angle ODA \iff \angle BAD = \angle CDA[/tex3] . Então, [tex3]O[/tex3] está sobre a mediatriz de [tex3]BC[/tex3] , portanto, os pontos [tex3]G[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] respectivamente; isto implica que [tex3]GH = GF[/tex3] e [tex3]HE = EF[/tex3] , logo [tex3]GH \cdot EF = GF \cdot EH[/tex3] .
Sabendo então que [tex3]G(H,S;K,E) = -1[/tex3] , e, que [tex3]GH,KF,GK,GE[/tex3] e [tex3]GS[/tex3] são as polares dos pontos [tex3]B,Q,P, \infty[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] ; pode-se concluir que [tex3]G(H,S;K,E) = (B,Z;P,\infty) = -1[/tex3] , o que significa que [tex3]P[/tex3] é ponto médio de [tex3]BZ[/tex3] .
Veja, por fim, que [tex3]\triangle AQR \sim \triangle ZQP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{PZ} = \frac{QR}{QP} = \frac {a}{b}[/tex3] e que [tex3]\triangle LAR \sim \triangle LBP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{BP} = \frac{LR}{LR+a+b} = \frac ba \implies LR = b\frac{b+a}{a-b}[/tex3]
- inversao13.png (20.84 KiB) Exibido 517 vezes
Do teorema de La Hire, vemos que [tex3]AQ[/tex3] é polar de [tex3]S = HE \cap KF[/tex3] , pois: [tex3]HE[/tex3] é polar de [tex3]A[/tex3] e [tex3]KF[/tex3] é polar de [tex3]Q[/tex3] .
Sejam [tex3]\gamma = (GHEF)[/tex3] e [tex3]G' = SG \cap \gamma \neq G[/tex3] . São alguns resultados "triviais" que:
[tex3]G(H,S;K,E) := (H,G';K,E)_\gamma = (E,G;F,H)_\gamma = -1[/tex3]
A última igualdade se deve ao fato do quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3] ser harmônico: veja que como o trapézio é isósceles, ele é simétrico em relação à mediatriz de [tex3]AD[/tex3] , que é a mesma mediatriz de [tex3]BC[/tex3] ; e, que as bissetrizes dos ângulos [tex3]\angle BAD[/tex3] e [tex3]\angle CDA[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]O[/tex3] tal que o [tex3]\triangle OAD[/tex3] é [tex3]O-[/tex3] isósceles, pois [tex3]\angle OAD = \angle ODA \iff \angle BAD = \angle CDA[/tex3] . Então, [tex3]O[/tex3] está sobre a mediatriz de [tex3]BC[/tex3] , portanto, os pontos [tex3]G[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] respectivamente; isto implica que [tex3]GH = GF[/tex3] e [tex3]HE = EF[/tex3] , logo [tex3]GH \cdot EF = GF \cdot EH[/tex3] .
Sabendo então que [tex3]G(H,S;K,E) = -1[/tex3] , e, que [tex3]GH,KF,GK,GE[/tex3] e [tex3]GS[/tex3] são as polares dos pontos [tex3]B,Q,P, \infty[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] ; pode-se concluir que [tex3]G(H,S;K,E) = (B,Z;P,\infty) = -1[/tex3] , o que significa que [tex3]P[/tex3] é ponto médio de [tex3]BZ[/tex3] .
Veja, por fim, que [tex3]\triangle AQR \sim \triangle ZQP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{PZ} = \frac{QR}{QP} = \frac {a}{b}[/tex3] e que [tex3]\triangle LAR \sim \triangle LBP[/tex3] : [tex3]\frac{AR}{BP} = \frac{LR}{LR+a+b} = \frac ba \implies LR = b\frac{b+a}{a-b}[/tex3]
Editado pela última vez por FelipeMartin em 16 Out 2021, 13:03, em um total de 3 vezes.
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Out 2021
16
06:06
Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
Por quarteto hamônico .......................
- Anexos
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- Screenshot_2021-06-12-14-36-43-1.png (453.93 KiB) Exibido 503 vezes
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petras
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Out 2021
16
07:50
Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
PQRL formam um quarteto harmônico
[tex3]\angle DCP = 2\theta\\\angle DCB = 2\alpha\\\therefore \boxed{\alpha + \theta = 90^o}\\O ~é~ excentro~ \triangle ARL\\\angle LOR = \alpha\\O ~é~ excentro~ \triangle QCP\\\angle QOP = \theta\\\\ Por~propriedade^*: \angle ROQ = 90^o -\frac{2\theta}{2}=90-\theta = \alpha \\
\triangle LOQ:\\
OR \text{ é bissetriz interna}\\
\text{OP é bissetriz extenta} [/tex3]
Portanto:
[tex3]LR = x\\
\frac{a+b+x}{x}=\frac{a}{b}\\
ax=ba+b.b+bx\\
ax - bx=b(a+b) \\
x(a-b) = b(a+b)\\ \therefore \boxed{\color{red}x = \frac{b(a+b)}{(a-b)}}
[/tex3]
(Solução: fornecida por Geobson)
*
[tex3]\angle DCP = 2\theta\\\angle DCB = 2\alpha\\\therefore \boxed{\alpha + \theta = 90^o}\\O ~é~ excentro~ \triangle ARL\\\angle LOR = \alpha\\O ~é~ excentro~ \triangle QCP\\\angle QOP = \theta\\\\ Por~propriedade^*: \angle ROQ = 90^o -\frac{2\theta}{2}=90-\theta = \alpha \\
\triangle LOQ:\\
OR \text{ é bissetriz interna}\\
\text{OP é bissetriz extenta} [/tex3]
Portanto:
[tex3]LR = x\\
\frac{a+b+x}{x}=\frac{a}{b}\\
ax=ba+b.b+bx\\
ax - bx=b(a+b) \\
x(a-b) = b(a+b)\\ \therefore \boxed{\color{red}x = \frac{b(a+b)}{(a-b)}}
[/tex3]
(Solução: fornecida por Geobson)
*
- Anexos
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- fig1.jpg (4.91 KiB) Exibido 465 vezes
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- fig3.jpg (20.93 KiB) Exibido 486 vezes
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FelipeMartin
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Out 2021
16
12:45
Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
petras, pera ai, você resolveu outro problema, você chamou de [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
medidas diferentes do enunciado original. No final, você resolveu o problema do meu livro.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 16 Out 2021, 13:49, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Out 2021
16
13:48
Re: Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
petras, [tex3]\angle ROQ = \alpha[/tex3]
por simples cálculo de ângulo, considerando que [tex3]RO[/tex3]
e [tex3]QO[/tex3]
são biissetrizes externas do [tex3]\triangle RQD[/tex3]
. Uma continha bem simples.
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