Resposta
x^2+y^2-2xy+8x+8=0
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Aref - Lugar geométrico Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
15
11:35
Aref - Lugar geométrico
Determine a equação do lugar geométrico dos centros das circunferências que passam pelo ponto A(-2,0) e são tangentes à reta de equação x-y=0. Que figura representa a equação obtida?
x^2+y^2-2xy+8x+8=0
x^2+y^2-2xy+8x+8=0
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joaopcarv
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Out 2021
15
18:07
Re: Aref - Lugar geométrico
Sejam [tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3]
os centros dessas circunferências.
Sendo essas cirunferências tangentes à reta [tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3] , elas possuem exatamente um ponto na forma [tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3] , e, além disso, a reta que conecta esse ponto de tangência [tex3]\mathsf{T}[/tex3] ao centro é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3] .
[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3] é ponto de tangência entre a ciruncferência e a reta.
Temos que [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3] Substituindo [tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]
Sendo essas cirunferências tangentes à reta [tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3] , elas possuem exatamente um ponto na forma [tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3] , e, além disso, a reta que conecta esse ponto de tangência [tex3]\mathsf{T}[/tex3] ao centro é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3] .
[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3] é ponto de tangência entre a ciruncferência e a reta.
Temos que [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3] Substituindo [tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 15 Out 2021, 18:08, em um total de 1 vez.
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Out 2021
15
18:17
Re: Aref - Lugar geométrico
- Aref.png (63.04 KiB) Exibido 3264 vezes
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Out 2021
15
20:14
Re: Aref - Lugar geométrico
Obrigado, mas só pra confirmar, o ponto T é o ponto de tangência entre cada circunferência e a reta y=x? Logo T tem coordenadas (x;x)? Poderia ser (y;y) também?joaopcarv escreveu: ↑15 Out 2021, 18:07 Sejam [tex3]\mathsf{C \ = \ (x_c, \ y_c)}[/tex3] os centros dessas circunferências.
Sendo essas cirunferências tangentes à reta [tex3]\mathsf{y \ = \ x}[/tex3] , elas possuem exatamente um ponto na forma [tex3]\mathsf{T \ = (x,x)}[/tex3] , e, além disso, a reta que conecta esse ponto de tangência [tex3]\mathsf{T}[/tex3] ao centro é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{y \ = x \ \therefore \ \alpha\Big(\overline{CT}\Big) \ = \ -1.}[/tex3] .
[tex3]\mathsf{\dfrac{y_c \ - \ x_t}{x_c \ - \ x_t} \ = \ -1 \ \therefore \ x_t \ = \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2} \ \rightarrow \ T \ = \ \bigg(\dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}, \ \dfrac{x_c \ + \ y_c}{2}\bigg)}[/tex3] é ponto de tangência entre a ciruncferência e a reta.
Temos que [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{CT} \ = \ R:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2} \ = \ \sqrt{(x _c \ - \ x_t)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_t)^2} \ \rightarrow}[/tex3] Substituindo [tex3]\mathsf{x_t:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(x_c \ + \ 2)^2 \ + \ y_c^2 \ = \ \dfrac{(x_c \ - \ y_c)^2 \ + \ (y_c \ - \ x_c)^2}{4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4 \cdot x_c^2 \ + \ 16\cdot x_c \ + \ 16 \ + \ 4\cdot y_c^2 \ = \ 2 \cdot x_c^2 \ - 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot x_c^2 \ + \ 4 \cdot x_c \cdot y_c \ + \ 2 \cdot y_c^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot (x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 16 \cdot x_c \ + \ 16 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{(x_c \ + \ y_c)^2 \ + \ 8 \cdot x_c \ + \ 8 \ = \ 0}}[/tex3]
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Out 2021
17
22:49
Re: Aref - Lugar geométrico
Gagázeiro, sim, isso mesmo.
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