Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Felipe22** » 12 Out 2021, 08:54 · Mensagem não lida por **Felipe22** » 12 Out 2021, 08:54

♤ = intersecção

Simplificando-se A ♤ [( A ♤ B' ) U ( A' ♤ B)] obtém-se:
a) A
b) A - B
c) B'
d) A' ♤ B

Gab : b

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 12 Out 2021, 18:51 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 12 Out 2021, 18:51

Antes, algumas dicas de LaTex. Na caixa de texto tem uma opção escrita apenas "TEX". Se você clicar nela aparecerá isso no seu texto:

Código: Selecionar todos

[tex3][/tex3]

Basta escrever entre esses colchete que ele colocará em formatação de LaTex:

Código: Selecionar todos

[tex3]a^2 = b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\theta)[/tex3]

Quando você enviar a mensagem, esse código acima ficará assim: [tex3]a^2 = b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\theta)[/tex3]
Quando você digita essa barra \ ele entende que você fará um comando a seguir, por exemplo, se eu escrever \times ele traduzirá isso com o símbolo [tex3]\times[/tex3] .
Depois disso, é só aprender os comandos pra poder escrever. Por exemplo, no seu caso união de conjuntos escrevemos \cup = [tex3]\cup[/tex3] e intersecção escrevemos \cap = [tex3]\cap[/tex3] .

Enfim, vamos a questão:
Suponho que A' seja o complementar de A. Caso não seja, me avise. Para este tipo de questão é útil desenhar a situação.

: Conjuntos e complementares.png (51.05 KiB) Exibido 464 vezes

Queremos [tex3]A \cap [( A \cap B' ) \cup ( A' \cap B)][/tex3]
Começando dentro do primeiro parênteses, queremos a intersecção de A com o complementar de B. Ou seja, queremos aquilo que está incluso em A e no complementar de B. Pelo desenho podemos ver que isso é o conjunto A removendo o que está no conjunto B, ou seja, A-B.

No segundo parêntese, queremos a intersecção do complementar de A com B. Ou seja, queremos aquilo que está incluso no complementar de A e em B. Pelo desenho podemos ver que isso é o conjunto B removendo o que está no conjunto A, ou seja, B-A.

Assim, obtemos:
[tex3]A \cap [( A-B) \cup ( B-A)][/tex3]
Considerando os colchetes, queremos a união de [tex3]A-B[/tex3] com [tex3]B-A[/tex3] . Pelo desenho, vemos que isso é o conjunto [tex3]A+B[/tex3] tirando a intersecção deles.

: Conjuntos e complementares-2.png (37.34 KiB) Exibido 464 vezes

Por fim, queremos a intersecção disto com o conjunto [tex3]A[/tex3] . Pelo desenho, vemos que isso é o conjunto [tex3]A[/tex3] tirando o que está em [tex3]B[/tex3] . Ou seja, a resposta final é [tex3] A-B[/tex3].

Mensagem não lidapor **petras** » 13 Out 2021, 07:43 · Mensagem não lida por **petras** » 13 Out 2021, 07:43

Felipe22, AnthonyC,

Observação: O enunciado está mal redigido pois não é dito a relação entre os conjuntos...eles podem ser disjuntos, A [tex3]\subset [/tex3] B, B [tex3]\supset [/tex3] A ou A=B.. Uma outra solução poderia ser o conjunto A ou mesmo o conjunto [tex3]\emptyset [/tex3]

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 13 Out 2021, 17:24 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 13 Out 2021, 17:24

Realmente, não havia percebido a falta de informações. Mas creio que a alternativa continua correta, por que ela coincide com a resposta correta em todos os casos:

Se A e B forem disjuntos, então [tex3]A \cap B' =A[/tex3] e [tex3]A'\cap B=B[/tex3] . Portanto, [tex3](A \cap B') \cup (A'\cap B)=A\cup B\implies A\cap\[(A \cap B') \cup (A'\cap B)\]=A\cap [A\cup B]=A\cup (A\cap B)[/tex3] . Como eles são disjuntos, então [tex3]A\cap B=\emptyset[/tex3] , logo, [tex3]A\cap\[(A \cap B') \cup (A'\cap B)\]=A\cup \emptyset=A[/tex3] . Porém [tex3]A-B=A[/tex3] , pois são disjuntos. Assim, [tex3]A-B[/tex3] é resposta correta para este caso.

Se [tex3]A\subset B[/tex3] , então [tex3]A\not\subset B'[/tex3] , logo [tex3]A\cap B'=\emptyset [/tex3] . Também temos que [tex3]A'\cap B=B'\cup (B-A)[/tex3] . Portanto, [tex3](A \cap B') \cup (A'\cap B)=\emptyset\cup [B'\cup (B-A)]=B'\cup (B-A)[/tex3] . Assim, [tex3]A\cap\[(A \cap B') \cup (A'\cap B)\]=A\cap[B'\cup (B-A)][/tex3] . Mas como [tex3]A\subset B[/tex3] , então [tex3]A\not\subset B' [/tex3] e [tex3]A\not\subset B-A [/tex3] . Assim, [tex3]A\cap[B'\cup (B-A)]=\emptyset[/tex3] . Porém [tex3]A-B=\emptyset[/tex3] , pois [tex3]A\subset B[/tex3] . Assim, [tex3]A-B[/tex3] é resposta correta para este caso.

Se [tex3]B\subset A[/tex3] , então [tex3]B\not\subset A'[/tex3] , logo [tex3]B\cap A'=\emptyset [/tex3] . Também temos que [tex3]B'\cap A=A'\cup (A-B)[/tex3] . Portanto, [tex3](A \cap B') \cup (A'\cap B)=[A'\cup (A-B)]\cup\emptyset=A'\cup (A-B)[/tex3] . Assim, [tex3]A\cap\[(A \cap B') \cup (A'\cap B)\]=A\cap[A'\cup (A-B)][/tex3] . Usando a distributividade da intersecção sobre a união, temos [tex3]A\cap[A'\cup (A-B)]=[A\cap A']\cup [A\cap (A-B)]=\emptyset\cup [A-BA\cap (A-B)]=[/tex3] . Assim, [tex3]A-B[/tex3] é resposta correta para este caso.

Se [tex3]A=B[/tex3] , então [tex3]A\cap B'=A'\cap B =\emptyset[/tex3] , logo [tex3](A \cap B') \cup (A'\cap B)=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset[/tex3] . Assim, [tex3]A\cap[(A \cap B') \cup (A'\cap B)]=A\cap \emptyset= \emptyset[/tex3] . E como [tex3]A=B[/tex3] , então [tex3]A-B=\emptyset[/tex3] . Assim, [tex3]A-B[/tex3] é resposta correta para este caso.

Mensagem não lidapor **petras** » 13 Out 2021, 18:04 · Mensagem não lida por **petras** » 13 Out 2021, 18:04

AnthonyC,

Veja que quando eles são disjuntos apesar de A-B ser resposta A também é resposta pois A-B = A, Então a alternativa a também estaria correta
A questão deveria ser anulada

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 13 Out 2021, 18:40 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 13 Out 2021, 18:40

petras, realmente que desenvolveu a questão não especificou o bastante.

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