Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:02 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
2 - No triângulo acutângulo ABC, a dis­tância entre os pés das alturas relativas
aos lados AB e BC é 24. Calcular a medida do circunraio do triângulo ABC.
[tex3]\measuredangle B=37° [/tex3]

Resposta

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D) 25

[petras]

Traçar altura BG de B to AC. △EFG é triângulo órtico.

Propriedade do triângulo órtico: O segmento traçado pelo vértice do triangulo que gerou o triângulo órtico que passa pelo seu circuncentro daquele triângulo será perpendicular ao lado correspondente do triÂngulo órtico.
Assim: D é circuncentro de △ABC, CD⊥EG and AD⊥FG.

Portanto, ∠EGF=180∘−∠ADC=106∘

If R_O is the circunraio de △EGF, usando a lei dos senos em △EGF, EF = 24 = 2.R_O.sin∠EGF

[tex3]⟹R_O=\frac{12}{sin106^∘}(1)\\
sin106^∘=2sin53^∘cos53^∘=2⋅\frac{4}{5}⋅\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\\
De(I): R_O=\frac{25}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]⟹R_O=\frac{12}{sin106^∘}(1)\\
sin106^∘=2sin53^∘cos53^∘=2⋅\frac{4}{5}⋅\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\\
De(I): R_O=\frac{25}{2}[/tex3]

Propriedade triângulo órtico: Circunraio do triângulo órtico é metade do circunraio do triângulo que deu origem ao triângulo órtico.
[tex3]∴\boxed{\color{red}R=2R_O=25}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∴\boxed{\color{red}R=2R_O=25}[/tex3]

Por Geometria:

[tex3]No △ADH, \frac{AH}{AD}=\frac{3}{5}⟹AD=R=\frac{5}{3}AH.\\

AH=\frac{AC}{2}, R=\frac{5}{6}AC(1)\\

H ~é ~ circuncentro ~do~ triângulo ~retângulo △AFC ~e~ △AEC.\\
\therefore FH=EH=\frac{AC}{2}\\
∠AHF=180^∘−2∠A,∠EHC=180^∘−2∠C\\
\implies ∠EHF=180^∘−2∠B\\
△EHF~ é~ isósceles\\
M ~é~ pé~ da ~perpendicular~ de ~H~ a~ FE\\
∠HFM=∠HEM=∠B ~e~ FM=ME=12\\
△FHM, \frac{FM}{FH}=\frac{4}{5}\\
FH=15=\frac{AC}{2}⟹AC=30\\
De (1), \boxed{\color{red}R=25}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]No △ADH, \frac{AH}{AD}=\frac{3}{5}⟹AD=R=\frac{5}{3}AH.\\

AH=\frac{AC}{2}, R=\frac{5}{6}AC(1)\\

H ~é ~ circuncentro ~do~ triângulo ~retângulo △AFC ~e~ △AEC.\\
\therefore FH=EH=\frac{AC}{2}\\
∠AHF=180^∘−2∠A,∠EHC=180^∘−2∠C\\
\implies ∠EHF=180^∘−2∠B\\
△EHF~ é~ isósceles\\
M ~é~ pé~ da ~perpendicular~ de ~H~ a~ FE\\
∠HFM=∠HEM=∠B ~e~ FM=ME=12\\
△FHM, \frac{FM}{FH}=\frac{4}{5}\\
FH=15=\frac{AC}{2}⟹AC=30\\
De (1), \boxed{\color{red}R=25}[/tex3]

(Solução:MathLover)

[petras]

[tex3]EF=ACcosB\\
EF=24\\
cosB=cos37^∘=\frac{4}{5} \implies AC=30\\
\therefore CH=\frac{AC}{2}=\frac{1}{5}\\
\triangle DCH~ é~notável(37^o, 53^o)\implies DC=\frac{5}{3}CH=25 ∴\therefore\boxed{\color{red}R=25}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EF=ACcosB\\
EF=24\\
cosB=cos37^∘=\frac{4}{5} \implies AC=30\\
\therefore CH=\frac{AC}{2}=\frac{1}{5}\\
\triangle DCH~ é~notável(37^o, 53^o)\implies DC=\frac{5}{3}CH=25 ∴\therefore\boxed{\color{red}R=25}[/tex3]

(Solução:ACB)

*Property: In a triangle ABC, the side lengths of the orthic triangle are given by
a′=acosA
b'bcosB
c'=ccosC