Ensino Médio ⇒ Cônicas Tópico resolvido

[Gabi123]

Uma possível assíntota para a hipérbole de equação (y²/9) - (x²/25) = 1 é:

a) -3x + 10y = 0
b) 3x - y = 0
c) -5x + y = 0
d) 5x + 3y = 0
e) 3x + 5y = 0

Resposta

---

Gabarito letra E

[careca]

O meu professor passou um bizzu pra calcular as assíntotas da hipérbole:

igualar a cônica a zero, de forma a criar uma diferença de quadrados. Cada termo dessa diferença de quadrados é uma reta assíntota.

[tex3](\frac{y}{3})^2-(\frac{x}{5})^2 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{y}{3})^2-(\frac{x}{5})^2 = 0[/tex3]

[tex3][(\frac{y}{3})+(\frac{x}{5})][(\frac{y}{3})-(\frac{x}{5})]. = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][(\frac{y}{3})+(\frac{x}{5})][(\frac{y}{3})-(\frac{x}{5})]. = 0[/tex3]

Primeira reta:

[tex3][(\frac{y}{3})+(\frac{x}{5})] = 0 -->3x +5y =0[/tex3]

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[tex3][(\frac{y}{3})+(\frac{x}{5})] = 0 -->3x +5y =0[/tex3]

Segunda reta:

[tex3][(\frac{y}{3})-(\frac{x}{5})] = 0 -->3x -5y =0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][(\frac{y}{3})-(\frac{x}{5})] = 0 -->3x -5y =0[/tex3]

[rcompany]

Ou:

[tex3]
\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\iff\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{\dfrac{9}{25}x^2}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}\\\text{ou}\\y=-\sqrt{\dfrac{9}{25}x^2}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}\end{array}\right.

[/tex3]

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[tex3]
\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\iff\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{\dfrac{9}{25}x^2}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}\\\text{ou}\\y=-\sqrt{\dfrac{9}{25}x^2}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}\end{array}\right.

[/tex3]

[tex3]\text{Quando }x\longrightarrow +\infty,\\
\lim\limits_{x\to +\infty}y-ax-b=0\implies \left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\\\text{ou}\\\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\end{array}\right.
\implies \left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\\\text{ou}\\a=-\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\end{array}\right.\\
\text{As retas }R_1\text{ de equação }y=\frac{3}{5}x\text{ e }R_2\text{ de equação }y=-\frac{3}{5}x\text{ são assíntotas da hipérbole em }+\infty\\[24pt]


\text{Quando }x\longrightarrow -\infty,\\
\lim\limits_{x\to -\infty}y-ax-b=0\implies \left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to -\infty}\left(-\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\\\text{ou}\\\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\end{array}\right.
\implies \left\{\begin{array}{l}a=-\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\\\text{ou}\\a=\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\end{array}\right.\\
\text{As retas }R_3\text{ de equação }y=-\frac{3}{5}x\text{ e }R_4\text{ de equação }y=\frac{3}{5}x\text{ são assíntotas da hipérbole em }-\infty\\
\text{ e notamos que }R_1=R_4\text{ e }R_2=R_3\\[24pt]

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Quando }x\longrightarrow +\infty,\\
\lim\limits_{x\to +\infty}y-ax-b=0\implies \left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\\\text{ou}\\\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\end{array}\right.
\implies \left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\\\text{ou}\\a=-\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\end{array}\right.\\
\text{As retas }R_1\text{ de equação }y=\frac{3}{5}x\text{ e }R_2\text{ de equação }y=-\frac{3}{5}x\text{ são assíntotas da hipérbole em }+\infty\\[24pt]


\text{Quando }x\longrightarrow -\infty,\\
\lim\limits_{x\to -\infty}y-ax-b=0\implies \left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to -\infty}\left(-\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\\\text{ou}\\\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{9}{25}\sqrt{1+\dfrac{25}{x^2}}-a\right)x-b=0\end{array}\right.
\implies \left\{\begin{array}{l}a=-\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\\\text{ou}\\a=\dfrac{3}{5}\text{ e }b=0\end{array}\right.\\
\text{As retas }R_3\text{ de equação }y=-\frac{3}{5}x\text{ e }R_4\text{ de equação }y=\frac{3}{5}x\text{ são assíntotas da hipérbole em }-\infty\\
\text{ e notamos que }R_1=R_4\text{ e }R_2=R_3\\[24pt]

[/tex3]