Ensino Médio ⇒ Pentágono - Geometria Plana Tópico resolvido

[castelohsi]

Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono onde B = D = 90°, AB = CD, CD = DE e M é o ponto médio do lado AE. Determine a medida do ângulo DBM.

Figura

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Resposta

---

45°

[petras]

castelohsi,
Correção AB = BC
[tex3]\mathsf{
Reflita ~ A ~sobre~ BC. \implies BM\parallel A'E\\
\triangle A'BC(isósceles~retângulo): sen 45^o = \frac{BC}{A'C}\implies A'C = \sqrt2 ~ BC\\
\triangle DCE(isósceles~retângulo): sen 45^o = \frac{CD}{CE}\implies CE = \sqrt2 ~ CD\\
\therefore\frac{A'C}{BC}=\frac{CE}{CD}: \angle A'CE \cong \angle DCB \implies△A'CE∼△BCD (L.A.L)\\ \therefore \angle CA'E \cong \angle CBD\\
\angle ABM\cong \angle AA'E=45^o−\angle CA'E = 45^o−\angle CBD \implies \\
\angle DBM =90^o -\angle ABM-\angle CBD =90^o -(45^o-\angle CBD)-\angle CBD \\
\boxed{\angle DBM = 45^o}\color{green}\checkmark
\\
Outro~modo: refletindo~ E ~sobre ~ CD, \implies AE'=A'E \\\therefore BM=DM.
\therefore △DMB (isósceles) \implies \boxed{\angle DBM = 45^o}\color{green}\checkmark

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
Reflita ~ A ~sobre~ BC. \implies BM\parallel A'E\\
\triangle A'BC(isósceles~retângulo): sen 45^o = \frac{BC}{A'C}\implies A'C = \sqrt2 ~ BC\\
\triangle DCE(isósceles~retângulo): sen 45^o = \frac{CD}{CE}\implies CE = \sqrt2 ~ CD\\
\therefore\frac{A'C}{BC}=\frac{CE}{CD}: \angle A'CE \cong \angle DCB \implies△A'CE∼△BCD (L.A.L)\\ \therefore \angle CA'E \cong \angle CBD\\
\angle ABM\cong \angle AA'E=45^o−\angle CA'E = 45^o−\angle CBD \implies \\
\angle DBM =90^o -\angle ABM-\angle CBD =90^o -(45^o-\angle CBD)-\angle CBD \\
\boxed{\angle DBM = 45^o}\color{green}\checkmark
\\
Outro~modo: refletindo~ E ~sobre ~ CD, \implies AE'=A'E \\\therefore BM=DM.
\therefore △DMB (isósceles) \implies \boxed{\angle DBM = 45^o}\color{green}\checkmark

}[/tex3]

(Solução:MathLover)