Ensino Médio

Seja P(x) = det(A-xI) o polinômio característico da matriz A de ordem n.

a) se A é invertível, mostre que as raízes do polinômio característico de A^{-1} são os inversos das raízes de P(x)
b) mostre que as raízes do polinômio característico de A² são os quadrados das raízes de P(x)

Caramba, isso é uma coisa muito bacana. Com isso dá pra facilmente resolver aqueles problemas do tipo seja p um polinômio com raízes a b c, determine o polinômio de raízes [tex3]a^n[/tex3] [tex3]b^n[/tex3] [tex3]c^n[/tex3]

a) Sejam lambda e v um autovalor e autovetor de A.
[tex3]Av=\lambda v \rightarrow Iv = \lambda A^{-1}v \rightarrow (\lambda A^{-1}-I)v=0[/tex3]
[tex3]\therefore(A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I)v=0[/tex3]
Então se lambda é um autovalor de A (uma raiz de P(x)), então [tex3]\frac{1}{\lambda}[/tex3] é um autovalor de [tex3]A^{-1}[/tex3] (uma raiz do polinômio característico de [tex3]A^{-1}[/tex3] ). Então as raízes do polinômio característico de [tex3]A^{-1}[/tex3] são os inversos das raízes de P(x)

b) [tex3]Av = \lambda v \rightarrow A^2v=\lambda A v=\lambda(\lambda v)=\lambda^2 v[/tex3]
[tex3](A^2-\lambda^2I)v=0[/tex3]

E pronto, se lambda é raiz de P(x), então [tex3]\lambda^2[/tex3] é raiz do polinômio característico de [tex3]A^2[/tex3] .

Elaborando um pouco mais o que eu tinha dito, apenas por curiosidade:

por exemplo, tome o polinômio [tex3](x-1)(x-2)(x-4)=x^3-7x^2+14x-8=0[/tex3] .
Um jeito fácil de determinar a matriz que tem esses autovalores é assim:
[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
8 & -14 & 7 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Isto é, você coloca 1 na diagonal "quase principal" e o oposto dos coeficientes do polinômio que você tem na última linha, começando pelo termo de menor ordem do polinômio.

E aí se eu pedir o polinômio cujas raízes são o cubo das raízes desse polinômio, basta elevar essa matriz ao cubo:
[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
8 & -14 & 7 \\
\end{pmatrix}^3=
\begin{pmatrix}
8 & -14 & 7 \\
56 & -90 & 35 \\
280 & -434 & 155 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
O chato é que a matriz perde o formato de 1 na diagonal "quase principal", e aí não tem jeito, tem que calcular [tex3]det(M-\lambda I)[/tex3]
[tex3]det \begin{pmatrix}
8-\lambda & -14 & 7 \\
56 & -90-\lambda & 35 \\
280 & -434 & 155-\lambda \\
\end{pmatrix}=-\lambda^3+73\lambda^2-584\lambda+512[/tex3]
Tem o inconveniente de ter que elevar a matriz ao cubo e depois calcular esse determinante chato, mas tem vários jeitos de facilitar o cálculo do determinante (os números são grandes, mas podemos subtrair uma linha da outra), mas honestamente pelo jeito que eu usualmente faço com transformadas (viewtopic.php?f=20&t=94313&p=260261#p260261), a conta também não é pouca, e não tem um jeito tão generalizado de encontrar o polinômio com raízes elevadas a alguma potência genérica. Infelizmente potências fracionárias ainda são um problema, pois teríamos que calcular [tex3]M^{\frac{1}{n}}[/tex3] , e isso só pode ser feito diagonalizando a matriz, o que requer conhecer as raízes do polinômio característico (que é o que queremos evitar).

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